Algèbre Exemples

$\frac{x}{x^{2} - 25} + \frac{5}{x + 5} - \frac{6}{x}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 5^{2}} + \frac{5}{x + 5} - \frac{6}{x}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{x}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{5}{x + 5} - \frac{6}{x}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{x}{(x + 5) (x - 5)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x + 5} - \frac{6}{x}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{x}{(x + 5) (x - 5)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5}{x + 5} - \frac{6}{x}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{5}{x + 5}$ par $\frac{(x - 5) x}{(x - 5) x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5}{x + 5} \cdot \frac{(x - 5) x}{(x - 5) x} - \frac{6}{x}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{5}{x + 5}$ par $\frac{(x - 5) x}{(x - 5) x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5 ((x - 5) x)}{(x + 5) ((x - 5) x)} - \frac{6}{x}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{6}{x}$ par $\frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5 ((x - 5) x)}{(x + 5) ((x - 5) x)} - (\frac{6}{x} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)})$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{6}{x}$ par $\frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5 ((x - 5) x)}{(x + 5) ((x - 5) x)} - \frac{6 ((x + 5) (x - 5))}{x ((x + 5) (x - 5))}$

Étape 2.7

Réorganisez les facteurs de $(x + 5) ((x - 5) x)$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5 ((x - 5) x)}{x (x + 5) (x - 5)} - \frac{6 ((x + 5) (x - 5))}{x ((x + 5) (x - 5))}$

Étape 2.8

Réorganisez les facteurs de $x ((x + 5) (x - 5))$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5 ((x - 5) x)}{x (x + 5) (x - 5)} - \frac{6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \cdot x + 5 ((x - 5) x) - 6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 ((x - 5) x) - 6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 (x \cdot x - 5 x) - 6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 (x^{2} - 5 x) - 6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} + 5 (- 5 x) - 6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.5

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6

Développez $(x + 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x (x - 5) + 5 (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.7

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Étape 4.7.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 5$ et $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.7.2

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.7.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x \cdot x + 5 \cdot - 5)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x^{2} + 5 \cdot - 5)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8.2

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x^{2} - 25)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 x^{2} - 6 \cdot - 25}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.10

Multipliez $- 6$ par $- 25$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 x^{2} + 150}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Additionnez $x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 25 x - 6 x^{2} + 150}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.2

Associez les termes opposés dans $6 x^{2} - 25 x - 6 x^{2} + 150$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $6 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{- 25 x + 0 + 150}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 25 x$ et $0$ .

$\frac{- 25 x + 150}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.3

Factorisez $25$ à partir de $- 25 x + 150$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $25$ à partir de $- 25 x$ .

$\frac{25 (- x) + 150}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.3.2

Factorisez $25$ à partir de $150$ .

$\frac{25 (- x) + 25 (6)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.3.3

Factorisez $25$ à partir de $25 (- x) + 25 (6)$ .

$\frac{25 (- x + 6)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{25 (- (x) + 6)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.5

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{25 (- (x) - 1 (- 6))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{25 (- (x - 6))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.7.1

Réécrivez $- (x - 6)$ comme $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{25 (- 1 (x - 6))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{25 (x - 6)}{x (x + 5) (x - 5)}$