Algèbre Exemples

$\frac{x + 6}{x^{2} - 7 x - 18} - \frac{2 x}{x - 9}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 7 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 9, 2$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 6}{(x - 9) (x + 2)} - \frac{2 x}{x - 9}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{2 x}{x - 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 9) (x + 2)} - \frac{2 x}{x - 9} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2 x}{x - 9}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 9) (x + 2)} - \frac{2 x (x + 2)}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 6 - 2 x (x + 2)}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 6 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x + 6 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x + 6 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x + 6 - 2 x^{2} - 4 x}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 4.4

Soustrayez $4 x$ de $x$ .

$\frac{- 3 x + 6 - 2 x^{2}}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 x^{2} - 3 x + 6}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 3 x + 6}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (3 x) + 6}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2}) - (3 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 3 x) + 6}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 5.4

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (- 6)}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 3 x - 6)}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Réécrivez $- (2 x^{2} + 3 x - 6)$ comme $- 1 (2 x^{2} + 3 x - 6)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 3 x - 6)}{(x - 9) (x + 2)}$

Étape 5.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x^{2} + 3 x - 6}{(x - 9) (x + 2)}$