Algèbre Exemples

$y + 3 x - 6 = - 3 {(x - 2)}^{2} + 4$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$y - 6 = - 3 {(x - 2)}^{2} + 4 - 3 x$

Étape 1.1.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 3 {(x - 2)}^{2} + 4 - 3 x + 6$

Étape 1.1.3

Additionnez $4$ et $6$ .

$y = - 3 {(x - 2)}^{2} - 3 x + 10$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- 3 {(x - 2)}^{2} - 3 x + 10$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$- 3 ((x - 2) (x - 2)) - 3 x + 10$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 3 x + 10$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 3 x + 10$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 3 x + 10$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 3 x + 10$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 3 x + 10$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 3 x + 10$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x + 4) - 3 x + 10$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 4 - 3 x + 10$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 4 - 3 x + 10$

Étape 1.2.1.1.5.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 - 3 x + 10$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez $3 x$ de $12 x$ .

$- 3 x^{2} + 9 x - 12 + 10$

Étape 1.2.1.3

Additionnez $- 12$ et $10$ .

$- 3 x^{2} + 9 x - 2$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 3$

$b = 9$

$c = - 2$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{9}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $9$ et $- 3$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$d = \frac{3 (3)}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{3 (3)}{3 (2 \cdot - 1)}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3 \cdot 3}{3 (2 \cdot - 1)}$

Étape 1.2.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$d = \frac{3}{- 2}$

Étape 1.2.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{3}{2}$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{9^{2}}{4 \cdot - 3}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$e = - 2 - \frac{81}{4 \cdot - 3}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$e = - 2 - \frac{81}{- 12}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Annulez le facteur commun à $81$ et $- 12$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$e = - 2 - \frac{3 (27)}{- 12}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$e = - 2 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = - 2 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot - 4}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = - 2 - \frac{27}{- 4}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - 2 - - \frac{27}{4}$

Étape 1.2.5.2.1.5

Multipliez $- - \frac{27}{4}$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - 2 + 1 (\frac{27}{4})$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Multipliez $\frac{27}{4}$ par $1$ .

$e = - 2 + \frac{27}{4}$

Étape 1.2.5.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$e = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{27}{4}$

Étape 1.2.5.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{27}{4}$

Étape 1.2.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 2 \cdot 4 + 27}{4}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$e = \frac{- 8 + 27}{4}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Additionnez $- 8$ et $27$ .

$e = \frac{19}{4}$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 3 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{19}{4}$ .

$- 3 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{19}{4}$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - 3 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{19}{4}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 3$

$h = \frac{3}{2}$

$k = \frac{19}{4}$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{19}{4})$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Étape 5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{12}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{3}{2}, \frac{14}{3})$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 8