Algèbre Exemples

$\frac{6}{x} + \frac{2}{x - 1} = 9$

Étape 1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{6}{x} + \frac{2}{x - 1} - 9 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{6}{x} + \frac{2}{x - 1} - 9$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{6}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} - 9 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{2}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - 9 = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{6}{x}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - 9 = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{2}{x - 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{2 x}{(x - 1) x} - 9 = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) x$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{2 x}{x (x - 1)} - 9 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (x - 1) + 2 x}{x (x - 1)} - 9 = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (x - 1) + 2 x$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (x - 1)$ .

$\frac{2 (3 (x - 1)) + 2 x}{x (x - 1)} - 9 = 0$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (3 (x - 1)) + 2 (x)}{x (x - 1)} - 9 = 0$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 (x - 1)) + 2 (x)$ .

$\frac{2 (3 (x - 1) + x)}{x (x - 1)} - 9 = 0$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x + 3 \cdot - 1 + x)}{x (x - 1)} - 9 = 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 3 + x)}{x (x - 1)} - 9 = 0$

Étape 2.5.4

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$\frac{2 (4 x - 3)}{x (x - 1)} - 9 = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 (4 x - 3)}{x (x - 1)} - 9 \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.7

Associez $- 9$ et $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 (4 x - 3)}{x (x - 1)} + \frac{- 9 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (4 x - 3) - 9 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 3 - 9 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 x + 2 \cdot - 3 - 9 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{8 x - 6 - 9 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x - 6 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{8 x - 6 - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{8 x - 6 - 9 x^{2} - 9 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.6

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$\frac{8 x - 6 - 9 x^{2} + 9 x}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.7

Additionnez $8 x$ et $9 x$ .

$\frac{17 x - 6 - 9 x^{2}}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 9 x^{2} + 17 x - 6}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{- (9 x^{2}) + 17 x - 6}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $17 x$ .

$\frac{- (9 x^{2}) - (- 17 x) - 6}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{2}) - (- 17 x)$ .

$\frac{- (9 x^{2} - 17 x) - 6}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.13

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$\frac{- (9 x^{2} - 17 x) - 1 (6)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{2} - 17 x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (9 x^{2} - 17 x + 6)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.15

Réécrivez $- (9 x^{2} - 17 x + 6)$ comme $- 1 (9 x^{2} - 17 x + 6)$ .

$\frac{- 1 (9 x^{2} - 17 x + 6)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9 x^{2} - 17 x + 6}{x (x - 1)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$9 x^{2} - 17 x + 6 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = - 17$ et $c = 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 6)}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 9 \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 6$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 36 \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $6$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 216}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.3.1.3

Soustrayez $216$ de $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{73}}{18}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 9 \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 6$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 36 \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $6$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 216}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.4.1.3

Soustrayez $216$ de $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{73}}{18}$

Étape 4.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{17 + \sqrt{73}}{18}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 9 \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 6$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 36 \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $6$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 216}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $216$ de $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{73}}{18}$

Étape 4.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{17 - \sqrt{73}}{18}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{17 + \sqrt{73}}{18}, \frac{17 - \sqrt{73}}{18}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{17 + \sqrt{73}}{18}, \frac{17 - \sqrt{73}}{18}$

Forme décimale :

$x = 1.41911131 \dots, 0.46977756 \dots$