Algèbre Exemples

$\frac{1}{24} + \frac{1}{y} = \frac{2}{y + 4}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2}{y + 4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{24} + \frac{1}{y} - \frac{2}{y + 4} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{24} + \frac{1}{y} - \frac{2}{y + 4}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{24}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{1}{24} \cdot \frac{y + 4}{y + 4} - \frac{2}{y + 4} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{2}{y + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{24}{24}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{1}{24} \cdot \frac{y + 4}{y + 4} - \frac{2}{y + 4} \cdot \frac{24}{24} = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $24 (y + 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{24}$ par $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{y + 4}{24 (y + 4)} - \frac{2}{y + 4} \cdot \frac{24}{24} = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{2}{y + 4}$ par $\frac{24}{24}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{y + 4}{24 (y + 4)} - \frac{2 \cdot 24}{(y + 4) \cdot 24} = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(y + 4) \cdot 24$ .

$\frac{1}{y} + \frac{y + 4}{24 (y + 4)} - \frac{2 \cdot 24}{24 (y + 4)} = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{y} + \frac{y + 4 - 2 \cdot 24}{24 (y + 4)} = 0$

Étape 2.5

Multipliez $- 2$ par $24$ .

$\frac{1}{y} + \frac{y + 4 - 48}{24 (y + 4)} = 0$

Étape 2.6

Soustrayez $48$ de $4$ .

$\frac{1}{y} + \frac{y - 44}{24 (y + 4)} = 0$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{24 (y + 4)}{24 (y + 4)}$ .

$\frac{1}{y} \cdot \frac{24 (y + 4)}{24 (y + 4)} + \frac{y - 44}{24 (y + 4)} = 0$

Étape 2.8

Pour écrire $\frac{y - 44}{24 (y + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{y} \cdot \frac{24 (y + 4)}{24 (y + 4)} + \frac{y - 44}{24 (y + 4)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Étape 2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y \cdot 24 (y + 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{24 (y + 4)}{24 (y + 4)}$ .

$\frac{24 (y + 4)}{y (24 (y + 4))} + \frac{y - 44}{24 (y + 4)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Étape 2.9.2

Multipliez $\frac{y - 44}{24 (y + 4)}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{24 (y + 4)}{y (24 (y + 4))} + \frac{(y - 44) y}{24 (y + 4) y} = 0$

Étape 2.9.3

Réorganisez les facteurs de $y (24 (y + 4))$ .

$\frac{24 (y + 4)}{24 y (y + 4)} + \frac{(y - 44) y}{24 (y + 4) y} = 0$

Étape 2.9.4

Réorganisez les facteurs de $24 (y + 4) y$ .

$\frac{24 (y + 4)}{24 y (y + 4)} + \frac{(y - 44) y}{24 y (y + 4)} = 0$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{24 (y + 4) + (y - 44) y}{24 y (y + 4)} = 0$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 y + 24 \cdot 4 + (y - 44) y}{24 y (y + 4)} = 0$

Étape 2.11.2

Multipliez $24$ par $4$ .

$\frac{24 y + 96 + (y - 44) y}{24 y (y + 4)} = 0$

Étape 2.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 y + 96 + y \cdot y - 44 y}{24 y (y + 4)} = 0$

Étape 2.11.4

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{24 y + 96 + y^{2} - 44 y}{24 y (y + 4)} = 0$

Étape 2.11.5

Soustrayez $44 y$ de $24 y$ .

$\frac{- 20 y + 96 + y^{2}}{24 y (y + 4)} = 0$

Étape 2.11.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y^{2} - 20 y + 96}{24 y (y + 4)} = 0$

Étape 2.11.7

Factorisez $y^{2} - 20 y + 96$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.11.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $96$ et dont la somme est $- 20$ .

$- 12, - 8$

Étape 2.11.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(y - 12) (y - 8)}{24 y (y + 4)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(y - 12) (y - 8) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 12 = 0$

$y - 8 = 0$

Étape 4.2

Définissez $y - 12$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $y - 12$ égal à $0$ .

$y - 12 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 12$

Étape 4.3

Définissez $y - 8$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $y - 8$ égal à $0$ .

$y - 8 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 8$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 12) (y - 8) = 0$ vraie.

$y = 12, 8$