Algèbre Exemples

$x^{4} - 8 x^{2} = - 16$

Étape 1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} + 16 = 0$

Étape 3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Étape 6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Étape 8

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 10

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 10.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 10.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 11

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 11.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 11.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$