Algèbre Exemples

$\frac{2 a b}{a^{2} - b^{2}} - \frac{b}{a - b} + 2$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{2 a b}{(a + b) (a - b)} - \frac{b}{a - b} + 2$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{b}{a - b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{2 a b}{(a + b) (a - b)} - \frac{b}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} + 2$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + b) (a - b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{b}{a - b}$ par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{2 a b}{(a + b) (a - b)} - \frac{b (a + b)}{(a - b) (a + b)} + 2$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{2 a b}{(a + b) (a - b)} - \frac{b (a + b)}{(a + b) (a - b)} + 2$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 a b - b (a + b)}{(a + b) (a - b)} + 2$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Factorisez $b$ à partir de $2 a b - b (a + b)$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $b$ à partir de $2 a b$ .

$\frac{b (2 a) - b (a + b)}{(a + b) (a - b)} + 2$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $b$ à partir de $- b (a + b)$ .

$\frac{b (2 a) + b (- (a + b))}{(a + b) (a - b)} + 2$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $b$ à partir de $b (2 a) + b (- (a + b))$ .

$\frac{b (2 a - (a + b))}{(a + b) (a - b)} + 2$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b (2 a - a - b)}{(a + b) (a - b)} + 2$

Étape 5.1.3

Soustrayez $a$ de $2 a$ .

$\frac{b (a - b)}{(a + b) (a - b)} + 2$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $a - b$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b (a - b)}{(a + b) (a - b)} + 2$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b}{a + b} + 2$

Étape 6

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{b}{a + b} + \frac{2 (a + b)}{a + b}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b + 2 (a + b)}{a + b}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b + 2 a + 2 b}{a + b}$

Étape 8.2

Additionnez $b$ et $2 b$ .

$\frac{2 a + 3 b}{a + b}$