Algèbre Exemples

$\frac{3 + i}{2 - i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{3 + i}{2 - i}$ par le conjugué de $2 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{3 + i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(3 + i) (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(3 + i) (2 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 + i) + i (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 i + i (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 i + i \cdot 2 + i i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 + 3 i + i \cdot 2 + i i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.2.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 \cdot i + i i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $i i$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 i + i^{1} i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 i + i^{1} i^{1}}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 + 3 i + 2 i + i^{1 + 1}}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 i + i^{2}}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 i - 1}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\frac{5 + 3 i + 2 i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $3 i$ et $2 i$ .

$\frac{5 + 5 i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(2 - i) (2 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 + 5 i}{2 (2 + i) - i (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 + 5 i}{2 \cdot 2 + 2 i - i (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 + 5 i}{2 \cdot 2 + 2 i - i \cdot 2 - i i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - i \cdot 2 - i i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - i i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - (i^{1} i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - (i^{1} i^{1})} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - i^{1 + 1}} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - i^{2}} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.2.7

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 0 - i^{2}} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 - i^{2}} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 - - 1} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 1} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 2.3.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{5} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $5 + 5 i$ et $5$ .

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 i}{5} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 3.2

Factorisez $5$ à partir de $5 i$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (i)}{5} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (1) + 5 (i)$ .

$\frac{5 (1 + i)}{5} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (1 + i)}{5 (1)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (1 + i)}{5 \cdot 1} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + i}{1} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 3.4.4

Divisez $1 + i$ par $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Étape 4

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{4 + i}{2 + 1 i}$ par le conjugué de $2 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$(1 + i) \cdot (\frac{4 + i}{2 + 1 i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i})$

Étape 5

Multipliez.

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Étape 5.1

Associez.

$(1 + i) \cdot \frac{(4 + i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Développez $(4 + i) (2 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 + i) \cdot \frac{4 (2 - i) + i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(1 + i) \cdot \frac{4 \cdot 2 + 4 (- i) + i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(1 + i) \cdot \frac{4 \cdot 2 + 4 (- i) + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 + 4 (- i) + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 \cdot i + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.2.1.4

Multipliez $i (- i)$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - (i^{1} i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - i^{1 + 1}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - i^{2}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - - 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i + 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 4 i + 2 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $- 4 i$ et $2 i$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Développez $(2 + 1 i) (2 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{2 (2 - i) + 1 i (2 - i)}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i (2 - i)}$

Étape 5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i + 1 i (- i)}$

Étape 5.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - i i}$

Étape 5.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i)}$

Étape 5.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 5.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{1 + 1}}$

Étape 5.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{2}}$

Étape 5.3.2.9

Additionnez $- 2 i$ et $2 i$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 + 0 - i^{2}}$

Étape 5.3.2.10

Additionnez $4$ et $0$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - i^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - - 1}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 + 1}$

Étape 5.3.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{5}$

Étape 6

Divisez la fraction $\frac{9 - 2 i}{5}$ en deux fractions.

$(1 + i) \cdot (\frac{9}{5} + \frac{- 2 i}{5})$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$(1 + i) \cdot (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5})$

Étape 8

Développez $(1 + i) (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5}) + i (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5})$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 (\frac{9}{5}) + 1 (- \frac{2 i}{5}) + i (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5})$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 (\frac{9}{5}) + 1 (- \frac{2 i}{5}) + i \frac{9}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Étape 9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Multipliez $\frac{9}{5}$ par $1$ .

$\frac{9}{5} + 1 (- \frac{2 i}{5}) + i \frac{9}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Étape 9.1.2

Multipliez $- \frac{2 i}{5}$ par $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + i \frac{9}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Étape 9.1.3

Associez $i$ et $\frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i \cdot 9}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Étape 9.1.4

Déplacez $9$ à gauche de $i$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Étape 9.1.5

Multipliez $i (- \frac{2 i}{5})$ .

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Étape 9.1.5.1

Associez $i$ et $\frac{2 i}{5}$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{i (2 i)}{5}$

Étape 9.1.5.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 (i^{1} i)}{5}$

Étape 9.1.5.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 (i^{1} i^{1})}{5}$

Étape 9.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 i^{1 + 1}}{5}$

Étape 9.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 i^{2}}{5}$

Étape 9.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 \cdot - 1}{5}$

Étape 9.1.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{- 2}{5}$

Étape 9.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - - \frac{2}{5}$

Étape 9.1.9

Multipliez $- - \frac{2}{5}$ .

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Étape 9.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} + 1 (\frac{2}{5})$

Étape 9.1.9.2

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} + \frac{2}{5}$

Étape 9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 + 2}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5}$

Étape 9.3

Additionnez $9$ et $2$ .

$\frac{11}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{11}{5} + \frac{7 i}{5}$