Algèbre Exemples

$\log (4 - x) = \log (x + 8) + \log (2 x + 13)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez $\log (x + 8) + \log (2 x + 13)$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (4 - x) = \log ((x + 8) (2 x + 13))$

Étape 1.1.2

Développez $(x + 8) (2 x + 13)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (4 - x) = \log (x (2 x + 13) + 8 (2 x + 13))$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (4 - x) = \log (x (2 x) + x \cdot 13 + 8 (2 x + 13))$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (4 - x) = \log (x (2 x) + x \cdot 13 + 8 (2 x) + 8 \cdot 13)$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log (4 - x) = \log (2 x \cdot x + x \cdot 13 + 8 (2 x) + 8 \cdot 13)$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\log (4 - x) = \log (2 (x \cdot x) + x \cdot 13 + 8 (2 x) + 8 \cdot 13)$

Étape 1.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (4 - x) = \log (2 x^{2} + x \cdot 13 + 8 (2 x) + 8 \cdot 13)$

Étape 1.1.3.1.3

Déplacez $13$ à gauche de $x$ .

$\log (4 - x) = \log (2 x^{2} + 13 \cdot x + 8 (2 x) + 8 \cdot 13)$

Étape 1.1.3.1.4

Multipliez $2$ par $8$ .

$\log (4 - x) = \log (2 x^{2} + 13 x + 16 x + 8 \cdot 13)$

Étape 1.1.3.1.5

Multipliez $8$ par $13$ .

$\log (4 - x) = \log (2 x^{2} + 13 x + 16 x + 104)$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $13 x$ et $16 x$ .

$\log (4 - x) = \log (2 x^{2} + 29 x + 104)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$4 - x = 2 x^{2} + 29 x + 104$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 x^{2} + 29 x + 104 = 4 - x$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 29 x + 104 + x = 4$

Étape 3.2.2

Additionnez $29 x$ et $x$ .

$2 x^{2} + 30 x + 104 = 4$

Étape 3.3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 30 x + 104 - 4 = 0$

Étape 3.4

Soustrayez $4$ de $104$ .

$2 x^{2} + 30 x + 100 = 0$

Étape 3.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 30 x + 100$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 30 x + 100 = 0$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $30 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (15 x) + 100 = 0$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$2 x^{2} + 2 (15 x) + 2 \cdot 50 = 0$

Étape 3.5.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (15 x)$ .

$2 (x^{2} + 15 x) + 2 \cdot 50 = 0$

Étape 3.5.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} + 15 x) + 2 \cdot 50$ .

$2 (x^{2} + 15 x + 50) = 0$

Étape 3.5.2

Factorisez.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 15 x + 50$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $50$ et dont la somme est $15$ .

$5, 10$

Étape 3.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((x + 5) (x + 10)) = 0$

Étape 3.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x + 5) (x + 10) = 0$

Étape 3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 10 = 0$

Étape 3.7

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 3.8

Définissez $x + 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x + 10$ égal à $0$ .

$x + 10 = 0$

Étape 3.8.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 10$

Étape 3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x + 5) (x + 10) = 0$ vraie.

$x = - 5, - 10$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (4 - x) = \log (x + 8) + \log (2 x + 13)$ vrai.

$x = - 5$