Algèbre Exemples

$\frac{3}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{7}{x + 3}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{7}{x + 3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{7}{x + 3} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{3}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{7}{x + 3}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{7}{x + 3} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{x - 1}{x + 2}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{7}{x + 3} = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{x - 1}{x + 2}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} - \frac{7}{x + 3} = 0$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{7}{x + 3}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} - (\frac{7}{x + 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) = 0$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{7}{x + 3}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} - \frac{7 (x + 2)}{(x + 3) (x + 2)} = 0$

Étape 2.2.5

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) (x + 2)$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} - \frac{7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + (x - 1) (x + 3) - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Développez $(x - 1) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + x (x + 3) - 1 (x + 3) - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3) - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 + x^{2} + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 + x^{2} + 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 3 - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{3 + x^{2} + 3 x - x - 1 \cdot 3 - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 + x^{2} + 3 x - x - 3 - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$\frac{3 + x^{2} + 2 x - 3 - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + x^{2} + 2 x - 3 - 7 x - 7 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.4

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$\frac{3 + x^{2} + 2 x - 3 - 7 x - 14}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.5

Associez les termes opposés dans $3 + x^{2} + 2 x - 3 - 7 x - 14$ .

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Étape 2.5.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 0 - 7 x - 14}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 7 x - 14}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.6

Soustrayez $7 x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 14}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.7

Factorisez $x^{2} - 5 x - 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 14$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 7, 2$

Étape 2.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 7) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 7) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 7}{x + 3} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x - 7 = 0$

Étape 4

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$