Algèbre Exemples

$\frac{5}{x} + \frac{x}{x + 4} = \frac{16}{x^{2} + 4 x}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{16}{x^{2} + 4 x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{5}{x} + \frac{x}{x + 4} - \frac{16}{x^{2} + 4 x} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{5}{x} + \frac{x}{x + 4} - \frac{16}{x^{2} + 4 x}$ .

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Étape 2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{5}{x}$ par $\frac{(x + 4) (x^{2} + 4 x)}{(x + 4) (x^{2} + 4 x)}$ .

$\frac{5}{x} \cdot \frac{(x + 4) (x^{2} + 4 x)}{(x + 4) (x^{2} + 4 x)} + \frac{x}{x + 4} - \frac{16}{x^{2} + 4 x} = 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{5}{x}$ par $\frac{(x + 4) (x^{2} + 4 x)}{(x + 4) (x^{2} + 4 x)}$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x ((x + 4) (x^{2} + 4 x))} + \frac{x}{x + 4} - \frac{16}{x^{2} + 4 x} = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{x}{x + 4}$ par $\frac{x (x^{2} + 4 x)}{x (x^{2} + 4 x)}$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x ((x + 4) (x^{2} + 4 x))} + \frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x (x^{2} + 4 x)}{x (x^{2} + 4 x)} - \frac{16}{x^{2} + 4 x} = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{x}{x + 4}$ par $\frac{x (x^{2} + 4 x)}{x (x^{2} + 4 x)}$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x ((x + 4) (x^{2} + 4 x))} + \frac{x (x (x^{2} + 4 x))}{(x + 4) (x (x^{2} + 4 x))} - \frac{16}{x^{2} + 4 x} = 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{16}{x^{2} + 4 x}$ par $\frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x ((x + 4) (x^{2} + 4 x))} + \frac{x (x (x^{2} + 4 x))}{(x + 4) (x (x^{2} + 4 x))} - (\frac{16}{x^{2} + 4 x} \cdot \frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}) = 0$

Étape 2.1.6

Multipliez $\frac{16}{x^{2} + 4 x}$ par $\frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x ((x + 4) (x^{2} + 4 x))} + \frac{x (x (x^{2} + 4 x))}{(x + 4) (x (x^{2} + 4 x))} - \frac{16 (x (x + 4))}{(x^{2} + 4 x) (x (x + 4))} = 0$

Étape 2.1.7

Réorganisez les facteurs de $x ((x + 4) (x^{2} + 4 x))$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} + \frac{x (x (x^{2} + 4 x))}{(x + 4) (x (x^{2} + 4 x))} - \frac{16 (x (x + 4))}{(x^{2} + 4 x) (x (x + 4))} = 0$

Étape 2.1.8

Réorganisez les facteurs de $(x + 4) (x (x^{2} + 4 x))$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} + \frac{x (x (x^{2} + 4 x))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} - \frac{16 (x (x + 4))}{(x^{2} + 4 x) (x (x + 4))} = 0$

Étape 2.1.9

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} + 4 x) (x (x + 4))$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} + \frac{x (x (x^{2} + 4 x))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} - \frac{16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Développez $(x + 4) (x^{2} + 4 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (x (x^{2} + 4 x) + 4 (x^{2} + 4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (x \cdot x^{2} + x (4 x) + 4 (x^{2} + 4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (x \cdot x^{2} + x (4 x) + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 (x^{1} x^{2} + x (4 x) + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 (x^{1 + 2} + x (4 x) + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{5 (x^{3} + x (4 x) + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 (x^{3} + 4 x \cdot x + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 (x^{3} + 4 (x \cdot x) + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 (x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{5 (x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 x) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{3} + 8 x^{2} + 16 x) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{3} + 5 (8 x^{2}) + 5 (16 x) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $8$ par $5$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 5 (16 x) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $16$ par $5$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x \cdot x (x^{2} + 4 x) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{2} (x^{2} + 4 x) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.7.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + x^{2} (4 x) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{2} x - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.9

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.9.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.9.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{1 + 2} - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.9.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{3} - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{3} - 16 (x \cdot x + x \cdot 4)}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.11

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{3} - 16 (x^{2} + x \cdot 4)}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.12

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{3} - 16 (x^{2} + 4 \cdot x)}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.13

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{3} - 16 x^{2} - 16 (4 x)}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.3.14

Multipliez $4$ par $- 16$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{3} - 16 x^{2} - 64 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.4

Additionnez $5 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$\frac{9 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} - 16 x^{2} - 64 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.5

Soustrayez $16 x^{2}$ de $40 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} + 24 x^{2} + 80 x + x^{4} - 64 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.6

Soustrayez $64 x$ de $80 x$ .

$\frac{9 x^{3} + 24 x^{2} + x^{4} + 16 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{3} + 24 x^{2} + x^{4} + 16 x$ .

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Étape 2.7.1.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{3}$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + 24 x^{2} + x^{4} + 16 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.7.1.2

Factorisez $x$ à partir de $24 x^{2}$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + x (24 x) + x^{4} + 16 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.7.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + x (24 x) + x \cdot x^{3} + 16 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.7.1.4

Factorisez $x$ à partir de $16 x$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + x (24 x) + x \cdot x^{3} + x \cdot 16}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.7.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (9 x^{2}) + x (24 x)$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 24 x) + x \cdot x^{3} + x \cdot 16}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.7.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (9 x^{2} + 24 x) + x \cdot x^{3}$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 24 x + x^{3}) + x \cdot 16}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.7.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x (9 x^{2} + 24 x + x^{3}) + x \cdot 16$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 24 x + x^{3} + 16)}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x (x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16)}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.7.3

Réécrivez $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ en forme factorisée.

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Étape 2.7.3.1

Factorisez $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.7.3.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 2.7.3.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Étape 2.7.3.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.7.3.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1 + 16$

Étape 2.7.3.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1 + 16$

Étape 2.7.3.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 9 \cdot 1 + 24 \cdot - 1 + 16$

Étape 2.7.3.1.3.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$- 1 + 9 + 24 \cdot - 1 + 16$

Étape 2.7.3.1.3.5

Additionnez $- 1$ et $9$ .

$8 + 24 \cdot - 1 + 16$

Étape 2.7.3.1.3.6

Multipliez $24$ par $- 1$ .

$8 - 24 + 16$

Étape 2.7.3.1.3.7

Soustrayez $24$ de $8$ .

$- 16 + 16$

Étape 2.7.3.1.3.8

Additionnez $- 16$ et $16$ .

$0$

Étape 2.7.3.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16}{x + 1}$

Étape 2.7.3.1.5

Divisez $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ par $x + 1$ .

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Étape 2.7.3.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Étape 2.7.3.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$

Étape 2.7.3.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.7.3.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.7.3.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Étape 2.7.3.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 2.7.3.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 2.7.3.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 2.7.3.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 2.7.3.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Étape 2.7.3.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$

Étape 2.7.3.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$

Étape 2.7.3.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	+	$16$

Étape 2.7.3.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x + 16$

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	-	$16$

Étape 2.7.3.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	-	$16$
										$0$

Étape 2.7.3.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 8 x + 16$

Étape 2.7.3.1.6

Écrivez $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ comme un ensemble de facteurs.

$\frac{x ((x + 1) (x^{2} + 8 x + 16))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.7.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.7.3.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x ((x + 1) (x^{2} + 8 x + 4^{2}))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.7.3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 2.7.3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x ((x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.7.3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{x ((x + 1) {(x + 4)}^{2})}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Étape 2.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 4 x$ .

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Étape 2.8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x (x + 4) (x \cdot x + 4 x)} = 0$

Étape 2.8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x (x + 4) (x \cdot x + x \cdot 4)} = 0$

Étape 2.8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x (x + 4) (x (x + 4))} = 0$

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x (x + 4) x (x + 4)} = 0$

Étape 2.8.2

Associez les exposants.

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Étape 2.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{1} x (x + 4) (x + 4)} = 0$

Étape 2.8.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{1} x^{1} (x + 4) (x + 4)} = 0$

Étape 2.8.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{1 + 1} (x + 4) (x + 4)} = 0$

Étape 2.8.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{2} (x + 4) (x + 4)} = 0$

Étape 2.8.2.5

Élevez $x + 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{2} ({(x + 4)}^{1} (x + 4))} = 0$

Étape 2.8.2.6

Élevez $x + 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{2} ({(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{1})} = 0$

Étape 2.8.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{2} {(x + 4)}^{1 + 1}} = 0$

Étape 2.8.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{2} {(x + 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.9.1

Factorisez $x$ à partir de $x (x + 1) {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{x ((x + 1) {(x + 4)}^{2})}{x^{2} {(x + 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.9.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{x ((x + 1) {(x + 4)}^{2})}{x (x {(x + 4)}^{2})} = 0$

Étape 2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x ((x + 1) {(x + 4)}^{2})}{x (x {(x + 4)}^{2})} = 0$

Étape 2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x {(x + 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.10

Annulez le facteur commun de ${(x + 4)}^{2}$ .

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Étape 2.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x {(x + 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$