Algèbre Exemples

$\frac{x^{3} - 9 x}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x - 3}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 9 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 9 x}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x - 3}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x - 3}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$\frac{x (x^{2} - 9)}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x - 3}$

Étape 1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x - 3}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x - 3}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} \cdot \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x - 3}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} \cdot \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x - 3}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x - 3}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} + 3 x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{x - 3}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}{x - 3}$

Étape 3.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} (x + 3)}{x - 3}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $x (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} (x + 3)}{x - 3}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (x (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} (x + 3)}{x - 3}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}} \cdot (x^{2} (x + 3))$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x + 3$ à partir de ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x + 3)} \cdot (x^{2} (x + 3))$

Étape 3.3.2

Factorisez $x + 3$ à partir de $x^{2} (x + 3)$ .

$\frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x + 3)} \cdot ((x + 3) x^{2})$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x + 3)} \cdot ((x + 3) x^{2})$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x + 3)}{x + 3} \cdot x^{2}$

Étape 3.4

Associez $\frac{x (x + 3)}{x + 3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x (x + 3) x^{2}}{x + 3}$

Étape 4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x (x + 3)}{x + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} x^{1} (x + 3)}{x + 3}$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2 + 1} (x + 3)}{x + 3}$

Étape 4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3} (x + 3)}{x + 3}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (x + 3)}{x + 3}$

Étape 5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3}$