Algèbre Exemples

$x^{\frac{2}{5}} + x^{\frac{1}{5}} + 1 = 3$

Étape 1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{5}}$ présent dans chaque terme.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{2} + x^{\frac{1}{5}} + 1 - 3$

Étape 2

Remplacez $x^{\frac{1}{5}}$ par $u$ .

${(u)}^{2} + u + 1 - 3 = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $u^{2} + u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Étape 3.4

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 3.5

Définissez $u + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $u + 2$ égal à $0$ .

$u + 2 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 2$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 1) (u + 2) = 0$ vraie.

$u = 1, - 2$

Étape 4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{1}{5}} = 1, - 2$

Étape 5

Résolvez $x^{\frac{1}{5}} = 1$ pour $x$ .

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Étape 5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 1^{5}$

Étape 5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{5}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{5}$

Étape 5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 1^{5}$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 1^{5}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = 1$

Étape 6

Résolvez $x^{\frac{1}{5}} = - 2$ pour $x$ .

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Étape 6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 2)}^{5}$

Étape 6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 2)}^{5}$

Étape 6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 2)}^{5}$

Étape 6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 2)}^{5}$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 2)}^{5}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$x = - 32$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1, - 32$