Algèbre Exemples

$\frac{6 x}{x + 4} + 4 = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2 x + 2}{x - 1}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{6 x}{x + 4} + 4 - \frac{2 x + 2}{x - 1} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{6 x}{x + 4} + 4 - \frac{2 x + 2}{x - 1}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{6 x}{x + 4} + 4 - \frac{2 (x) + 2}{x - 1} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{6 x}{x + 4} + 4 - \frac{2 (x) + 2 (1)}{x - 1} = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{6 x}{x + 4} + 4 - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{6 x}{x + 4} + \frac{4 (x + 4)}{x + 4} - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} = 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 x + 4 (x + 4)}{x + 4} - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} = 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x + 4 (x + 4)$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x) + 4 (x + 4)}{x + 4} - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} = 0$

Étape 2.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 (x + 4)$ .

$\frac{2 (3 x) + 2 (2 (x + 4))}{x + 4} - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} = 0$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (2 (x + 4))$ .

$\frac{2 (3 x + 2 (x + 4))}{x + 4} - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} = 0$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x + 2 x + 2 \cdot 4)}{x + 4} - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} = 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{2 (3 x + 2 x + 8)}{x + 4} - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} = 0$

Étape 2.4.4

Additionnez $3 x$ et $2 x$ .

$\frac{2 (5 x + 8)}{x + 4} - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} = 0$

Étape 2.5

Pour écrire $\frac{2 (5 x + 8)}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (5 x + 8)}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{2 (5 x + 8)}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} = 0$

Étape 2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.7.1

Multipliez $\frac{2 (5 x + 8)}{x + 4}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (5 x + 8) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{2 (5 x + 8) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1) (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.7.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{2 (5 x + 8) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (5 x + 8) (x - 1) - 2 (x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 x + 8) (x - 1) - 2 (x + 1) (x + 4)$ .

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Étape 2.9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 x + 8) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((5 x + 8) (x - 1)) - 2 (x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (x + 1) (x + 4)$ .

$\frac{2 ((5 x + 8) (x - 1)) + 2 (- (x + 1) (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 ((5 x + 8) (x - 1)) + 2 (- (x + 1) (x + 4))$ .

$\frac{2 ((5 x + 8) (x - 1) - (x + 1) (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.2

Développez $(5 x + 8) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 x (x - 1) + 8 (x - 1) - (x + 1) (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 x \cdot x + 5 x \cdot - 1 + 8 (x - 1) - (x + 1) (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 x \cdot x + 5 x \cdot - 1 + 8 x + 8 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 1 + 8 x + 8 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 5 x \cdot - 1 + 8 x + 8 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{2 (5 x^{2} - 5 x + 8 x + 8 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.3.1.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{2 (5 x^{2} - 5 x + 8 x - 8 - (x + 1) (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.3.2

Additionnez $- 5 x$ et $8 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 3 x - 8 - (x + 1) (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 x^{2} + 3 x - 8 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 3 x - 8 + (- x - 1) (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.6

Développez $(- x - 1) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.9.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 x^{2} + 3 x - 8 - x (x + 4) - 1 (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 x^{2} + 3 x - 8 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 (x + 4))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 x^{2} + 3 x - 8 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.9.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 3 x - 8 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 3 x - 8 - x^{2} - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.7.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 3 x - 8 - x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot 4)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.7.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 3 x - 8 - x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot 4)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 3 x - 8 - x^{2} - 4 x - x - 4)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.7.2

Soustrayez $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 3 x - 8 - x^{2} - 5 x - 4)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.8

Soustrayez $x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{2 (4 x^{2} + 3 x - 8 - 5 x - 4)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.9

Soustrayez $5 x$ de $3 x$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 8 - 4)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.10

Soustrayez $4$ de $- 8$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 12)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.11

Réécrivez $4 x^{2} - 2 x - 12$ en forme factorisée.

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Étape 2.9.11.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} - 2 x - 12$ .

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Étape 2.9.11.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 (2 x^{2}) - 2 x - 12)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.11.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 12)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.11.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$\frac{2 (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 6))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.11.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 6))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.11.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 6)$ .

$\frac{2 (2 (2 x^{2} - x - 6))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.11.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.9.11.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.9.11.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (2 (2 x^{2} - (x) - 6))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.11.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $3$ plus $- 4$

$\frac{2 (2 (2 x^{2} + (3 - 4) x - 6))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.11.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 (2 x^{2} + 3 x - 4 x - 6))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.11.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.9.11.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 (2 ((2 x^{2} + 3 x) - 4 x - 6))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.11.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (2 (x (2 x + 3) - 2 (2 x + 3)))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.11.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 3$ .

$\frac{2 (2 ((2 x + 3) (x - 2)))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

$\frac{2 (2 (2 x + 3) (x - 2))}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

$\frac{2 \cdot 2 (2 x + 3) (x - 2)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 (2 x + 3) (x - 2)}{(x + 4) (x - 1)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (2 x + 3) (x - 2) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4.2

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Étape 4.2.2

Résolvez $2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 4.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 4.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 4.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (2 x + 3) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{3}{2}, 2$