Algèbre Exemples

$\frac{y}{y - 4} - \frac{4}{y + 4} = \frac{32}{y^{2} - 16}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{32}{y^{2} - 16}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{y - 4} - \frac{4}{y + 4} - \frac{32}{y^{2} - 16} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{y}{y - 4} - \frac{4}{y + 4} - \frac{32}{y^{2} - 16}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{y}{y - 4} - \frac{4}{y + 4} - \frac{32}{y^{2} - 4^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 4$ .

$\frac{y}{y - 4} - \frac{4}{y + 4} - \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{y}{y - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{y}{y - 4} \cdot \frac{y + 4}{y + 4} - \frac{4}{y + 4} - \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{4}{y + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 4}{y - 4}$ .

$\frac{y}{y - 4} \cdot \frac{y + 4}{y + 4} - \frac{4}{y + 4} \cdot \frac{y - 4}{y - 4} - \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y - 4) (y + 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{y}{y - 4}$ par $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{y (y + 4)}{(y - 4) (y + 4)} - \frac{4}{y + 4} \cdot \frac{y - 4}{y - 4} - \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{4}{y + 4}$ par $\frac{y - 4}{y - 4}$ .

$\frac{y (y + 4)}{(y - 4) (y + 4)} - \frac{4 (y - 4)}{(y + 4) (y - 4)} - \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(y - 4) (y + 4)$ .

$\frac{y (y + 4)}{(y + 4) (y - 4)} - \frac{4 (y - 4)}{(y + 4) (y - 4)} - \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y (y + 4) - 4 (y - 4)}{(y + 4) (y - 4)} - \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y (y + 4) - 4 (y - 4) - 32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 4 - 4 (y - 4) - 32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot 4 - 4 (y - 4) - 32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.7.3

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$\frac{y^{2} + 4 \cdot y - 4 (y - 4) - 32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} + 4 y - 4 y - 4 \cdot - 4 - 32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.7.5

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{y^{2} + 4 y - 4 y + 16 - 32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.8

Associez les termes opposés dans $y^{2} + 4 y - 4 y + 16 - 32$ .

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Étape 2.8.1

Soustrayez $4 y$ de $4 y$ .

$\frac{y^{2} + 0 + 16 - 32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.8.2

Additionnez $y^{2}$ et $0$ .

$\frac{y^{2} + 16 - 32}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.9

Soustrayez $32$ de $16$ .

$\frac{y^{2} - 16}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 4^{2}}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.10.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 4$ .

$\frac{(y + 4) (y - 4)}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.11

Annulez le facteur commun de $y + 4$ .

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Étape 2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 4) (y - 4)}{(y + 4) (y - 4)} = 0$

Étape 2.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 4}{y - 4} = 0$

Étape 2.12

Annulez le facteur commun de $y - 4$ .

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Étape 2.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 4}{y - 4} = 0$

Étape 2.12.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 0$

Étape 3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution