Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{14} - \sqrt{15}}{\sqrt{14} + \sqrt{15}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{15}}{\sqrt{14} + \sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{15}}{\sqrt{14} - \sqrt{15}}$ .

$\frac{\sqrt{14} - \sqrt{15}}{\sqrt{14} + \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{14} - \sqrt{15}}{\sqrt{14} - \sqrt{15}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{15}}{\sqrt{14} + \sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{15}}{\sqrt{14} - \sqrt{15}}$ .

$\frac{(\sqrt{14} - \sqrt{15}) (\sqrt{14} - \sqrt{15})}{(\sqrt{14} + \sqrt{15}) (\sqrt{14} - \sqrt{15})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{14} - \sqrt{15}) (\sqrt{14} - \sqrt{15})}{{\sqrt{14}}^{2} - \sqrt{210} + \sqrt{210} - {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{14} - \sqrt{15}) (\sqrt{14} - \sqrt{15})}{- 1}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{(\sqrt{14} - \sqrt{15}) (\sqrt{14} - \sqrt{15})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((\sqrt{14} - \sqrt{15}) (\sqrt{14} - \sqrt{15}))$

Étape 2.4.2

Réécrivez $- 1 \cdot ((\sqrt{14} - \sqrt{15}) (\sqrt{14} - \sqrt{15}))$ comme $- ((\sqrt{14} - \sqrt{15}) (\sqrt{14} - \sqrt{15}))$ .

$- ((\sqrt{14} - \sqrt{15}) (\sqrt{14} - \sqrt{15}))$

Étape 3

Développez $(\sqrt{14} - \sqrt{15}) (\sqrt{14} - \sqrt{15})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{14} (\sqrt{14} - \sqrt{15}) - \sqrt{15} (\sqrt{14} - \sqrt{15}))$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{14} \sqrt{14} + \sqrt{14} (- \sqrt{15}) - \sqrt{15} (\sqrt{14} - \sqrt{15}))$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{14} \sqrt{14} + \sqrt{14} (- \sqrt{15}) - \sqrt{15} \sqrt{14} - \sqrt{15} (- \sqrt{15}))$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (\sqrt{14 \cdot 14} + \sqrt{14} (- \sqrt{15}) - \sqrt{15} \sqrt{14} - \sqrt{15} (- \sqrt{15}))$

Étape 4.1.2

Multipliez $14$ par $14$ .

$- (\sqrt{196} + \sqrt{14} (- \sqrt{15}) - \sqrt{15} \sqrt{14} - \sqrt{15} (- \sqrt{15}))$

Étape 4.1.3

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$- (\sqrt{14^{2}} + \sqrt{14} (- \sqrt{15}) - \sqrt{15} \sqrt{14} - \sqrt{15} (- \sqrt{15}))$

Étape 4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- (14 + \sqrt{14} (- \sqrt{15}) - \sqrt{15} \sqrt{14} - \sqrt{15} (- \sqrt{15}))$

Étape 4.1.5

Multipliez $\sqrt{14} (- \sqrt{15})$ .

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Étape 4.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (14 - \sqrt{14 \cdot 15} - \sqrt{15} \sqrt{14} - \sqrt{15} (- \sqrt{15}))$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $14$ par $15$ .

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{15} \sqrt{14} - \sqrt{15} (- \sqrt{15}))$

Étape 4.1.6

Multipliez $- \sqrt{15} \sqrt{14}$ .

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Étape 4.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{14 \cdot 15} - \sqrt{15} (- \sqrt{15}))$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $14$ par $15$ .

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} - \sqrt{15} (- \sqrt{15}))$

Étape 4.1.7

Multipliez $- \sqrt{15} (- \sqrt{15})$ .

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} + 1 \sqrt{15} \sqrt{15})$

Étape 4.1.7.2

Multipliez $\sqrt{15}$ par $1$ .

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} + \sqrt{15} \sqrt{15})$

Étape 4.1.7.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} + {\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})$

Étape 4.1.7.4

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} + {\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})$

Étape 4.1.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} + {\sqrt{15}}^{1 + 1})$

Étape 4.1.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} + {\sqrt{15}}^{2})$

Étape 4.1.8

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 4.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} + {(15^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Étape 4.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} + 15^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Étape 4.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} + 15^{\frac{2}{2}})$

Étape 4.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} + 15^{\frac{2}{2}})$

Étape 4.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} + 15^{1})$

Étape 4.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$- (14 - \sqrt{210} - \sqrt{210} + 15)$

Étape 4.2

Additionnez $14$ et $15$ .

$- (29 - \sqrt{210} - \sqrt{210})$

Étape 4.3

Soustrayez $\sqrt{210}$ de $- \sqrt{210}$ .

$- (29 - 2 \sqrt{210})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 29 - (- 2 \sqrt{210})$

Étape 6

Multipliez.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $29$ .

$- 29 - (- 2 \sqrt{210})$

Étape 6.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 29 + 2 \sqrt{210}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 29 + 2 \sqrt{210}$

Forme décimale :

$- 0.01724650 \dots$