Algèbre Exemples

$\sqrt{4 y + 20} - \sqrt{y - 4} = 6$

Étape 1

Ajoutez $\sqrt{y - 4}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{4 y + 20} = 6 + \sqrt{y - 4}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 y + 20}}^{2} = {(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 y + 20}$ comme ${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 y + 20)}^{1} = {(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$4 y + 20 = {(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$ comme $(6 + \sqrt{y - 4}) (6 + \sqrt{y - 4})$ .

$4 y + 20 = (6 + \sqrt{y - 4}) (6 + \sqrt{y - 4})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(6 + \sqrt{y - 4}) (6 + \sqrt{y - 4})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 20 = 6 (6 + \sqrt{y - 4}) + \sqrt{y - 4} (6 + \sqrt{y - 4})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 20 = 6 \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} (6 + \sqrt{y - 4})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 20 = 6 \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + \sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + \sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4}$

Étape 3.3.1.3.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt{y - 4}$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4}$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.3.1

Élevez $\sqrt{y - 4}$ à la puissance $1$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {\sqrt{y - 4}}^{1} \sqrt{y - 4}$

Étape 3.3.1.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{y - 4}$ à la puissance $1$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {\sqrt{y - 4}}^{1} {\sqrt{y - 4}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {\sqrt{y - 4}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {\sqrt{y - 4}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{y - 4}}^{2}$ comme $y - 4$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 4}$ comme ${(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {(y - 4)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {(y - 4)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {(y - 4)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Simplifiez

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + y - 4$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $4$ de $36$ .

$4 y + 20 = 32 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + y$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $6 \sqrt{y - 4}$ et $6 \sqrt{y - 4}$ .

$4 y + 20 = 32 + 12 \sqrt{y - 4} + y$

Étape 4

Résolvez $12 \sqrt{y - 4}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $32 + 12 \sqrt{y - 4} + y = 4 y + 20$ .

$32 + 12 \sqrt{y - 4} + y = 4 y + 20$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $12 \sqrt{y - 4}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $32$ des deux côtés de l’équation.

$12 \sqrt{y - 4} + y = 4 y + 20 - 32$

Étape 4.2.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$12 \sqrt{y - 4} = 4 y + 20 - 32 - y$

Étape 4.2.3

Soustrayez $y$ de $4 y$ .

$12 \sqrt{y - 4} = 3 y + 20 - 32$

Étape 4.2.4

Soustrayez $32$ de $20$ .

$12 \sqrt{y - 4} = 3 y - 12$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(12 \sqrt{y - 4})}^{2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 4}$ comme ${(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(12 {(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(12 {(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $12 {(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12^{2} {({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$144 {({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 {(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$144 {(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$144 {(y - 4)}^{1} = {(3 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$144 (y - 4) = {(3 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$144 y + 144 \cdot - 4 = {(3 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $144$ par $- 4$ .

$144 y - 576 = {(3 y - 12)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(3 y - 12)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(3 y - 12)}^{2}$ comme $(3 y - 12) (3 y - 12)$ .

$144 y - 576 = (3 y - 12) (3 y - 12)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(3 y - 12) (3 y - 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$144 y - 576 = 3 y (3 y - 12) - 12 (3 y - 12)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$144 y - 576 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y - 12)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$144 y - 576 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$144 y - 576 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$144 y - 576 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$144 y - 576 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 36 y - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 36 y - 36 y - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 12$ par $- 12$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 36 y - 36 y + 144$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $36 y$ de $- 36 y$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 72 y + 144$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 y^{2} - 72 y + 144 = 144 y - 576$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $144 y$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} - 72 y + 144 - 144 y = - 576$

Étape 7.2.2

Soustrayez $144 y$ de $- 72 y$ .

$9 y^{2} - 216 y + 144 = - 576$

Étape 7.3

Ajoutez $576$ aux deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} - 216 y + 144 + 576 = 0$

Étape 7.4

Additionnez $144$ et $576$ .

$9 y^{2} - 216 y + 720 = 0$

Étape 7.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.5.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y^{2} - 216 y + 720$ .

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Étape 7.5.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 216 y + 720 = 0$

Étape 7.5.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 216 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 24 y) + 720 = 0$

Étape 7.5.1.3

Factorisez $9$ à partir de $720$ .

$9 y^{2} + 9 (- 24 y) + 9 \cdot 80 = 0$

Étape 7.5.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 y^{2} + 9 (- 24 y)$ .

$9 (y^{2} - 24 y) + 9 \cdot 80 = 0$

Étape 7.5.1.5

Factorisez $9$ à partir de $9 (y^{2} - 24 y) + 9 \cdot 80$ .

$9 (y^{2} - 24 y + 80) = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez.

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Étape 7.5.2.1

Factorisez $y^{2} - 24 y + 80$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $80$ et dont la somme est $- 24$ .

$- 20, - 4$

Étape 7.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$9 ((y - 20) (y - 4)) = 0$

Étape 7.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$9 (y - 20) (y - 4) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 20 = 0$

$y - 4 = 0$

Étape 7.7

Définissez $y - 20$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 7.7.1

Définissez $y - 20$ égal à $0$ .

$y - 20 = 0$

Étape 7.7.2

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 20$

Étape 7.8

Définissez $y - 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $y - 4$ égal à $0$ .

$y - 4 = 0$

Étape 7.8.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 4$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $9 (y - 20) (y - 4) = 0$ vraie.

$y = 20, 4$