Algèbre Exemples

$\frac{x + 1}{x + 8} = \frac{x^{2} - 66 x}{x^{2} + 6 x - 16} - \frac{x - 8}{x - 2}$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{x^{2} - 66 x}{x^{2} + 6 x - 16}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x^{2} - 66 x}{x^{2} + 6 x - 16} = - \frac{x - 8}{x - 2}$

Étape 1.2

Ajoutez $\frac{x - 8}{x - 2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x^{2} - 66 x}{x^{2} + 6 x - 16} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x^{2} - 66 x}{x^{2} + 6 x - 16} + \frac{x - 8}{x - 2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 66 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x \cdot x - 66 x}{x^{2} + 6 x - 16} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 66 x$ .

$\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x \cdot x + x \cdot - 66}{x^{2} + 6 x - 16} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 66$ .

$\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x (x - 66)}{x^{2} + 6 x - 16} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2} + 6 x - 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 16$ et dont la somme est $6$ .

$- 2, 8$

Étape 2.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x (x - 66)}{(x - 2) (x + 8)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{x + 1}{x + 8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 1}{x + 8} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x (x - 66)}{(x - 2) (x + 8)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 8) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x + 1}{x + 8}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 8) (x - 2)} - \frac{x (x - 66)}{(x - 2) (x + 8)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 8)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 8) (x - 2)} - \frac{x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 2) - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Développez $(x + 1) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 2) + 1 (x - 2) - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2) - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.2.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 2 - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 2 - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + x - 2 - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - x - 2 - x \cdot x - x \cdot - 66}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 - (x \cdot x) - x \cdot - 66}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 - x^{2} - x \cdot - 66}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 66$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 - x^{2} + 66 x}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.6

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x - 2 + 0 + 66 x}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.7

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{- x - 2 + 66 x}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.8

Additionnez $- x$ et $66 x$ .

$\frac{65 x - 2}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $\frac{x - 8}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$\frac{65 x - 2}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} \cdot \frac{x + 8}{x + 8} = 0$

Étape 2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 8) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.7.1

Multipliez $\frac{x - 8}{x - 2}$ par $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$\frac{65 x - 2}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{(x - 8) (x + 8)}{(x - 2) (x + 8)} = 0$

Étape 2.7.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 8)$ .

$\frac{65 x - 2}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{(x - 8) (x + 8)}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{65 x - 2 + (x - 8) (x + 8)}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Développez $(x - 8) (x + 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{65 x - 2 + x (x + 8) - 8 (x + 8)}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{65 x - 2 + x \cdot x + x \cdot 8 - 8 (x + 8)}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{65 x - 2 + x \cdot x + x \cdot 8 - 8 x - 8 \cdot 8}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot 8 - 8 x - 8 \cdot 8$ .

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Étape 2.9.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 8$ et $- 8 x$ .

$\frac{65 x - 2 + x \cdot x + 8 x - 8 x - 8 \cdot 8}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.2.2

Soustrayez $8 x$ de $8 x$ .

$\frac{65 x - 2 + x \cdot x + 0 - 8 \cdot 8}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{65 x - 2 + x \cdot x - 8 \cdot 8}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{65 x - 2 + x^{2} - 8 \cdot 8}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.3.2

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$\frac{65 x - 2 + x^{2} - 64}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.4

Soustrayez $64$ de $- 2$ .

$\frac{65 x + x^{2} - 66}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} + 65 x - 66}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.6

Factorisez $x^{2} + 65 x - 66$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.9.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 66$ et dont la somme est $65$ .

$- 1, 66$

Étape 2.9.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 66)}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x - 1) (x + 66) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 66 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4.3

Définissez $x + 66$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x + 66$ égal à $0$ .

$x + 66 = 0$

Étape 4.3.2

Soustrayez $66$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 66$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 66) = 0$ vraie.

$x = 1, - 66$