Algèbre Exemples

$\frac{2 m}{2 m + 3} - \frac{2 m}{2 m - 3} = 1$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 m + 3, 2 m - 3, 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.5

Le facteur pour $2 m + 3$ est $2 m + 3$ lui-même.

$(2 m + 3) = 2 m + 3$

$(2 m + 3)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.6

Le facteur pour $2 m - 3$ est $2 m - 3$ lui-même.

$(2 m - 3) = 2 m - 3$

$(2 m - 3)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le plus petit multiple commun de $2 m + 3, 2 m - 3$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(2 m + 3) (2 m - 3)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 m}{2 m + 3} - \frac{2 m}{2 m - 3} = 1$ par $(2 m + 3) (2 m - 3)$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 m}{2 m + 3} - \frac{2 m}{2 m - 3} = 1$ par $(2 m + 3) (2 m - 3)$ .

$\frac{2 m}{2 m + 3} ((2 m + 3) (2 m - 3)) - \frac{2 m}{2 m - 3} ((2 m + 3) (2 m - 3)) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2 m + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 m}{2 m + 3} ((2 m + 3) (2 m - 3)) - \frac{2 m}{2 m - 3} ((2 m + 3) (2 m - 3)) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 m (2 m - 3) - \frac{2 m}{2 m - 3} ((2 m + 3) (2 m - 3)) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot - 3 - \frac{2 m}{2 m - 3} ((2 m + 3) (2 m - 3)) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 m \cdot m + 2 m \cdot - 3 - \frac{2 m}{2 m - 3} ((2 m + 3) (2 m - 3)) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$2 \cdot 2 m \cdot m - 6 m - \frac{2 m}{2 m - 3} ((2 m + 3) (2 m - 3)) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.5.1

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.5.1.1

Déplacez $m$ .

$2 \cdot 2 (m \cdot m) - 6 m - \frac{2 m}{2 m - 3} ((2 m + 3) (2 m - 3)) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.5.1.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$2 \cdot 2 m^{2} - 6 m - \frac{2 m}{2 m - 3} ((2 m + 3) (2 m - 3)) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 m^{2} - 6 m - \frac{2 m}{2 m - 3} ((2 m + 3) (2 m - 3)) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2 m - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 m}{2 m - 3}$ dans le numérateur.

$4 m^{2} - 6 m + \frac{- 2 m}{2 m - 3} ((2 m + 3) (2 m - 3)) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.6.2

Factorisez $2 m - 3$ à partir de $(2 m + 3) (2 m - 3)$ .

$4 m^{2} - 6 m + \frac{- 2 m}{2 m - 3} ((2 m - 3) (2 m + 3)) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$4 m^{2} - 6 m + \frac{- 2 m}{2 m - 3} ((2 m - 3) (2 m + 3)) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$4 m^{2} - 6 m - 2 m (2 m + 3) = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$4 m^{2} - 6 m - 2 m (2 m) - 2 m \cdot 3 = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 m^{2} - 6 m - 2 \cdot 2 m \cdot m - 2 m \cdot 3 = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.9

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$4 m^{2} - 6 m - 2 \cdot 2 m \cdot m - 6 m = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.10

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.10.1

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.10.1.1

Déplacez $m$ .

$4 m^{2} - 6 m - 2 \cdot 2 (m \cdot m) - 6 m = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.10.1.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$4 m^{2} - 6 m - 2 \cdot 2 m^{2} - 6 m = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.1.10.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 m^{2} - 6 m - 4 m^{2} - 6 m = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Associez les termes opposés dans $4 m^{2} - 6 m - 4 m^{2} - 6 m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Soustrayez $4 m^{2}$ de $4 m^{2}$ .

$- 6 m + 0 - 6 m = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.2.1.2

Additionnez $- 6 m$ et $0$ .

$- 6 m - 6 m = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $6 m$ de $- 6 m$ .

$- 12 m = 1 ((2 m + 3) (2 m - 3))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $(2 m + 3) (2 m - 3)$ par $1$ .

$- 12 m = (2 m + 3) (2 m - 3)$

Étape 2.3.2

Développez $(2 m + 3) (2 m - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 12 m = 2 m (2 m - 3) + 3 (2 m - 3)$

Étape 2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 12 m = 2 m (2 m) + 2 m \cdot - 3 + 3 (2 m - 3)$

Étape 2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 12 m = 2 m (2 m) + 2 m \cdot - 3 + 3 (2 m) + 3 \cdot - 3$

Étape 2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 12 m = 2 \cdot 2 m \cdot m + 2 m \cdot - 3 + 3 (2 m) + 3 \cdot - 3$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.2.1

Déplacez $m$ .

$- 12 m = 2 \cdot 2 (m \cdot m) + 2 m \cdot - 3 + 3 (2 m) + 3 \cdot - 3$

Étape 2.3.3.1.2.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$- 12 m = 2 \cdot 2 m^{2} + 2 m \cdot - 3 + 3 (2 m) + 3 \cdot - 3$

Étape 2.3.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 12 m = 4 m^{2} + 2 m \cdot - 3 + 3 (2 m) + 3 \cdot - 3$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 12 m = 4 m^{2} - 6 m + 3 (2 m) + 3 \cdot - 3$

Étape 2.3.3.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 12 m = 4 m^{2} - 6 m + 6 m + 3 \cdot - 3$

Étape 2.3.3.1.6

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 12 m = 4 m^{2} - 6 m + 6 m - 9$

Étape 2.3.3.2

Additionnez $- 6 m$ et $6 m$ .

$- 12 m = 4 m^{2} + 0 - 9$

Étape 2.3.3.3

Additionnez $4 m^{2}$ et $0$ .

$- 12 m = 4 m^{2} - 9$

Étape 3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Soustrayez $4 m^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 12 m - 4 m^{2} = - 9$

Étape 3.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$- 12 m - 4 m^{2} + 9 = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = - 4$ , $b = - 12$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $m$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 9)}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$m = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 4 \cdot 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$m = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 16 \cdot 9}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $16$ par $9$ .

$m = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 144}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.5.1.3

Additionnez $144$ et $144$ .

$m = \frac{12 \pm \sqrt{288}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $288$ comme $12^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.4.1

Factorisez $144$ à partir de $288$ .

$m = \frac{12 \pm \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.5.1.4.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$m = \frac{12 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$m = \frac{12 \pm 12 \sqrt{2}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$m = \frac{12 \pm 12 \sqrt{2}}{- 8}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 12 \sqrt{2}}{- 8}$ .

$m = \frac{3 \pm 3 \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 3.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$m = - \frac{3 \pm 3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$m = - \frac{3 + 3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 - 3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$m = - \frac{3 + 3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 - 3 \sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$m = - 3.62132034 \dots, 0.62132034 \dots$