Algèbre Exemples

${(3 x + 1)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(3 x)}^{3 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(3 x)}^{3 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(3 x)}^{3 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(3 x)}^{3 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(3 x)}^{3 - 3} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(1)}^{0} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Déplacez ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(3 x)}^{3} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.1.2

Multipliez ${(1)}^{0}$ par $1$ .

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Étape 4.1.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(3 x)}^{3} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1^{0 + 1} \cdot {(3 x)}^{3} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$1^{1} \cdot {(3 x)}^{3} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.2

Simplifiez $1^{1} \cdot {(3 x)}^{3}$ .

${(3 x)}^{3} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$3^{3} x^{3} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 x^{3} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.5

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 \cdot (3^{2} x^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.6

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.1

Déplacez $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 \cdot x^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.6.2

Multipliez $3^{2}$ par $3$ .

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Étape 4.6.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} \cdot x^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} \cdot x^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} \cdot x^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.7

Simplifiez $3^{3} \cdot x^{2} \cdot {(1)}^{1}$ .

$27 x^{3} + 3^{3} \cdot x^{2} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 x^{3} + 27 \cdot x^{2} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.9

Simplifiez

$27 x^{3} + 27 x^{2} + 3 \cdot (3 x) \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.12

Multipliez $9$ par $1$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.13

Multipliez $1$ par ${(1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.13.1

Déplacez ${(1)}^{3}$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + {(1)}^{3} \cdot 1 \cdot {(3 x)}^{0}$

Étape 4.13.2

Multipliez ${(1)}^{3}$ par $1$ .

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Étape 4.13.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + {(1)}^{3} \cdot 1^{1} \cdot {(3 x)}^{0}$

Étape 4.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + 1^{3 + 1} \cdot {(3 x)}^{0}$

Étape 4.13.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + 1^{4} \cdot {(3 x)}^{0}$

Étape 4.14

Simplifiez $1^{4} \cdot {(3 x)}^{0}$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + 1^{4}$

Étape 4.15

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + 1$