Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 16}{9 - x} \cdot \frac{x^{2} + x - 90}{x^{2} + 14 x + 40}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{9 - x} \cdot \frac{x^{2} + x - 90}{x^{2} + 14 x + 40}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{9 - x} \cdot \frac{x^{2} + x - 90}{x^{2} + 14 x + 40}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + x - 90$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 90$ et dont la somme est $1$ .

$- 9, 10$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{9 - x} \cdot \frac{(x - 9) (x + 10)}{x^{2} + 14 x + 40}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 14 x + 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $40$ et dont la somme est $14$ .

$4, 10$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{9 - x} \cdot \frac{(x - 9) (x + 10)}{(x + 4) (x + 10)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{9 - x} \cdot \frac{(x - 9) (x + 10)}{(x + 4) (x + 10)}$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{9 - x} \cdot \frac{(x - 9) (x + 10)}{x + 10}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{x - 4}{9 - x}$ par $\frac{(x - 9) (x + 10)}{x + 10}$ .

$\frac{(x - 4) ((x - 9) (x + 10))}{(9 - x) (x + 10)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 10$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) ((x - 9) (x + 10))}{(9 - x) (x + 10)}$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 4) (x - 9)}{9 - x}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun à $x - 9$ et $9 - x$ .

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x) - 9)}{9 - x}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x) - 1 (9))}{9 - x}$

Étape 4.2.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (9)$ .

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x + 9))}{9 - x}$

Étape 4.2.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x + 9))}{- x + 9}$

Étape 4.2.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x + 9))}{- x + 9}$

Étape 4.2.3.6

Divisez $(x - 4) \cdot (- 1)$ par $1$ .

$(x - 4) \cdot (- 1)$

Étape 4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot - 1 - 4 \cdot - 1$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- 1 \cdot x - 4 \cdot - 1$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- 1 \cdot x + 4$

Étape 4.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- x + 4$