Algèbre Exemples

$\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x + 5) = \ln (\frac{x - 1}{x + 1})$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x + 5 = \frac{x - 1}{x + 1}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{x - 1}{x + 1} - 5$

Étape 3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1

Divisez la fraction $\frac{x - 1}{x + 1}$ en deux fractions.

$x = \frac{x}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1} - 5$

Étape 3.1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - 5$

Étape 3.1.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.1.3.1

Écrivez $- 5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $\frac{- 5}{1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $\frac{- 5}{1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5 (x + 1)}{x + 1}$

Étape 3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{x - 1 - 5 (x + 1)}{x + 1}$

Étape 3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1}{x + 1}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5}{x + 1}$

Étape 3.1.6

Soustrayez $5 x$ de $x$ .

$x = \frac{- 4 x - 1 - 5}{x + 1}$

Étape 3.1.7

Soustrayez $5$ de $- 1$ .

$x = \frac{- 4 x - 6}{x + 1}$

Étape 3.1.8

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x - 6$ .

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Étape 3.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$x = \frac{2 (- 2 x) - 6}{x + 1}$

Étape 3.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$x = \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 3)}{x + 1}$

Étape 3.1.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x) + 2 (- 3)$ .

$x = \frac{2 (- 2 x - 3)}{x + 1}$

Étape 3.1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$x = \frac{2 (- (2 x) - 3)}{x + 1}$

Étape 3.1.10

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{2 (- (2 x) - 1 (3))}{x + 1}$

Étape 3.1.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (3)$ .

$x = \frac{2 (- (2 x + 3))}{x + 1}$

Étape 3.1.12

Réécrivez $- (2 x + 3)$ comme $- 1 (2 x + 3)$ .

$x = \frac{2 (- 1 (2 x + 3))}{x + 1}$

Étape 3.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x + 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$1, x + 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + 1$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ par $x + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ par $x + 1$ .

$x (x + 1) = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ dans le numérateur.

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Étape 3.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + x = - 2 (2 x + 3)$

Étape 3.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x = - 2 (2 x) - 2 \cdot 3$

Étape 3.3.3.3

Multipliez.

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Étape 3.3.3.3.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x^{2} + x = - 4 x - 2 \cdot 3$

Étape 3.3.3.3.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x^{2} + x = - 4 x - 6$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.1.1

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x + 4 x = - 6$

Étape 3.4.1.2

Additionnez $x$ et $4 x$ .

$x^{2} + 5 x = - 6$

Étape 3.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 5 x + 6 = 0$

Étape 3.4.3

Factorisez $x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.4.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 3.4.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 2) (x + 3) = 0$

Étape 3.4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3.4.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.4.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.4.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.4.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = - 2, - 3$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$ vrai.

$Aucune solution$