Algèbre Exemples

$3 x^{4} - 2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$3 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 u$ .

$3 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$3 u^{2} + (1 - 3) u - 1 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1 = 0$

Étape 3.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$3 u^{2} + u - 3 u - 1 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} + u) - 3 u - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (3 u + 1) - (3 u + 1) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 1) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(3 x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 8

Définissez $3 x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $3 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $3 x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = - 1$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Étape 8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Étape 8.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Étape 8.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 8.2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{3}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Étape 8.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Étape 8.2.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Étape 8.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Étape 8.2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 8.2.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.2.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 8.2.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 8.2.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.2.4.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 8.2.4.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 8.2.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.2.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.2.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.2.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.2.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.2.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 8.2.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 8.2.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 8.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 8.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 8.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 10

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, - 1, 1$