Algèbre Exemples

$3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} = 48$

Étape 1

Soustrayez $48$ des deux côtés de l’équation.

$3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} - 48 = 0$

Étape 2

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} - 48$ .

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Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$3 ({(x + 1)}^{\frac{4}{3}}) - 48 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 48$ .

$3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} + 3 \cdot - 16 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} + 3 \cdot - 16$ .

$3 ({(x + 1)}^{\frac{4}{3}} - 16) = 0$

Étape 3

Réécrivez ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ comme ${({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$3 ({({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{2} - 16) = 0$

Étape 4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$3 ({({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ et $b = 4$ .

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} - 4)) = 0$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ comme ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4)) = 0$

Étape 6.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 2^{2})) = 0$

Étape 6.1.3

Factorisez.

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Étape 6.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ et $b = 2$ .

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) (({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2))) = 0$

Étape 6.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2)) = 0$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Étape 8

Définissez ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$

Étape 8.2

Résolvez ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} = - 4$

Étape 8.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez ${({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 8.2.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 1)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.2.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.2.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 1)}^{1} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.2.3.1.2

Simplifiez

$x + 1 = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x + 1 = {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1$

Étape 8.2.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x + 1 = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.2.4.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1$

Étape 8.2.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1, - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1$

Étape 9

Définissez ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Étape 9.2

Résolvez ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - 2$

Étape 9.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Étape 9.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 9.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.3.1.1

Simplifiez ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 9.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 9.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Étape 9.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Étape 9.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 1)}^{1} = {(- 2)}^{3}$

Étape 9.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x + 1 = {(- 2)}^{3}$

Étape 9.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$x + 1 = - 8$

Étape 9.2.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8 - 1$

Étape 9.2.4.2

Soustrayez $1$ de $- 8$ .

$x = - 9$

Étape 10

Définissez ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Étape 10.2

Résolvez ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Étape 10.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Étape 10.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 10.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.3.1.1

Simplifiez ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Étape 10.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Étape 10.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 1)}^{1} = 2^{3}$

Étape 10.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x + 1 = 2^{3}$

Étape 10.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$x + 1 = 8$

Étape 10.2.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = 8 - 1$

Étape 10.2.4.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$x = 7$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ vraie.

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1, - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1, - 9, 7$

Étape 12

Excluez les solutions qui ne rendent pas $3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ vrai.

$x = - 9, 7$