Algèbre Exemples

$\frac{15}{x} - \frac{15}{x - 2} = - 2$

Étape 1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{15}{x} - \frac{15}{x - 2} + 2 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{15}{x} - \frac{15}{x - 2} + 2$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{15}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{15}{x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{15}{x - 2} + 2 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{15}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{15}{x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{15}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} + 2 = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{15}{x}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{15 (x - 2)}{x (x - 2)} - \frac{15}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} + 2 = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{15}{x - 2}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{15 (x - 2)}{x (x - 2)} - \frac{15 x}{(x - 2) x} + 2 = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) x$ .

$\frac{15 (x - 2)}{x (x - 2)} - \frac{15 x}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15 (x - 2) - 15 x}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Étape 2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $15$ à partir de $15 (x - 2) - 15 x$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Factorisez $15$ à partir de $- 15 x$ .

$\frac{15 (x - 2) + 15 (- x)}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Étape 2.5.1.1.2

Factorisez $15$ à partir de $15 (x - 2) + 15 (- x)$ .

$\frac{15 (x - 2 - x)}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Étape 2.5.1.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{15 (0 - 2)}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Étape 2.5.1.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{15 \cdot - 2}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $15$ par $- 2$ .

$\frac{- 30}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Étape 2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{30}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Étape 3

Factorisez $2$ à partir de $- \frac{30}{x (x - 2)} + 2$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $- \frac{30}{x (x - 2)}$ .

$2 (- \frac{15}{x (x - 2)}) + 2 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (- \frac{15}{x (x - 2)}) + 2 (1) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- \frac{15}{x (x - 2)}) + 2 (1)$ .

$2 (- \frac{15}{x (x - 2)} + 1) = 0$

Étape 4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (- \frac{15}{x (x - 2)} + \frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}) = 0$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{- 15 + x (x - 2)}{x (x - 2)}) = 0$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{- 15 + x \cdot x + x \cdot - 2}{x (x - 2)}) = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 (\frac{- 15 + x^{2} + x \cdot - 2}{x (x - 2)}) = 0$

Étape 6.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$2 (\frac{- 15 + x^{2} - 2 x}{x (x - 2)}) = 0$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x (x - 2)}) = 0$

Étape 6.5

Factorisez $x^{2} - 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 6.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 (\frac{(x - 5) (x + 3)}{x (x - 2)}) = 0$

Étape 7

Associez $2$ et $\frac{(x - 5) (x + 3)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{2 (x - 5) (x + 3)}{x (x - 2)} = 0$

Étape 8

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x - 5) (x + 3) = 0$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 9.2

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 9.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 9.3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 9.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 9.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 5) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 5, - 3$