Algèbre Exemples

$\frac{\frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 5 x + 6}}{\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 2 x - 8}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 5 x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2} + 5 x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} + 5 x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 2)}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 5 x + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 2)}{(x + 1) (x + 4)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 1) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 2)}{(x + 4) (x + 1)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 2)}{(x + 4) (x + 1)}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 2)}{x + 1}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 4)}{x + 1}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 4)}{x + 1}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{x + 3} \cdot \frac{x - 4}{x + 1}$

Étape 8

Multipliez $\frac{x - 4}{x + 3}$ par $\frac{x - 4}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 4)}{(x + 3) (x + 1)}$

Étape 9

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{1} (x - 4)}{(x + 3) (x + 1)}$

Étape 10

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1}}{(x + 3) (x + 1)}$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x - 4)}^{1 + 1}}{(x + 3) (x + 1)}$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{(x + 3) (x + 1)}$