Algèbre Exemples

$\frac{y + 3}{y^{2} + 7 y + 12} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $y^{2} + 7 y + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{y + 3}{(y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y + 3$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 3}{(y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Étape 1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{y^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 3$ .

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{y + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}$ .

$\frac{1}{y + 4} \cdot \frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{1}{y + 4} \cdot \frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y + 4) (y + 3) (y - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{y + 4}$ par $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 4) ((y + 3) (y - 3))} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$ par $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 4) ((y + 3) (y - 3))} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y - 3) (y + 4)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(y + 4) ((y + 3) (y - 3))$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y - 3) (y + 4)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(y + 3) (y - 3) (y + 4)$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(y + 3) (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(y + 3) (y - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (y - 3) + 3 (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3$ .

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Étape 6.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y \cdot - 3$ et $3 y$ .

$\frac{y \cdot y - 3 y + 3 y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 3 y$ et $3 y$ .

$\frac{y \cdot y + 0 + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Étape 6.2.3

Additionnez $y \cdot y$ et $0$ .

$\frac{y \cdot y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Étape 6.3.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 9 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 9 - 5 y - 5 \cdot 4}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$\frac{y^{2} - 9 - 5 y - 20}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Étape 6.6

Soustrayez $20$ de $- 9$ .

$\frac{y^{2} - 5 y - 29}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$