Algèbre Exemples

$\frac{x}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 1} = - 1$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 1} + 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 1} + 1$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{x}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} + 1 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{x - 1}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + 1 = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x}{x - 2}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{x - 1}{x + 1}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 1) + (x - 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + (x - 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + (x - 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.4

Développez $(x - 1) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x + x (x - 2) - 1 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x + x^{2} + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.5.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + x + x^{2} - 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.5.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} + x + x^{2} - 2 x - x - 1 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} + x + x^{2} - 2 x - x + 2}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.5.2

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} + x + x^{2} - 3 x + 2}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.6

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 x + 2}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.7

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.8

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 2 x + 2$ .

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Étape 2.5.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2 x + 2}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.8.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x) + 2 (1)}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.5.8.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + 1 = 0$

Étape 2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 1 + (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.2

Simplifiez

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Étape 2.8.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 1 + (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 + (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.3

Développez $(x + 1) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 + x (x - 2) + 1 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.8.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 + x^{2} + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.4.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 + x^{2} - 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.4.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 + x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 + x^{2} - 2 x + x - 2}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.4.2

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 + x^{2} - x - 2}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.5

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 2 - x - 2}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.6

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 2 - 2}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.7

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 0}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.8

Additionnez $3 x^{2} - 3 x$ et $0$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.9

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} - 3 x$ .

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Étape 2.8.9.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x (x) - 3 x}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.9.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{3 x (x) + 3 x (- 1)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.9.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (- 1)$ .

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x (x - 1) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$