Algèbre Exemples

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$

Étape 1

Factorisez $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

Étape 1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$6 \cdot {0.5}^{3} + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Étape 1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$6 \cdot 0.125 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Étape 1.3.3

Multipliez $6$ par $0.125$ .

$0.75 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Étape 1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.75 + 25 \cdot 0.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Étape 1.3.5

Multipliez $25$ par $0.25$ .

$0.75 + 6.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Étape 1.3.6

Additionnez $0.75$ et $6.25$ .

$7 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 24$ par $0.5$ .

$7 - 12 + 5$

Étape 1.3.8

Soustrayez $12$ de $7$ .

$- 5 + 5$

Étape 1.3.9

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5}{2 x - 1}$

Étape 1.5

Divisez $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ par $2 x - 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$25 x^{2}$

$24 x$

$5$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{3} - 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $28 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$28 x^{2}$	-	$14 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $28 x^{2} - 14 x$

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 10 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	+	$5$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 10 x + 5$

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$3 x^{2} + 14 x - 5$

Étape 1.6

Écrivez $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 x - 5)$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ et dont la somme est $b = 14$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $14$ à partir de $14 x$ .

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 (x) - 5)$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $14$ comme $- 1$ plus $15$

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 15) x - 5)$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 15 x - 5)$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 15 x - 5)$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(2 x - 1) (x (3 x - 1) + 5 (3 x - 1))$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$(2 x - 1) ((3 x - 1) (x + 5))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5)$