Algèbre Exemples

$\frac{t}{t + 3} + \frac{4 t}{t - 3} - \frac{18}{t^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{t}{t + 3} + \frac{4 t}{t - 3} - \frac{18}{t^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 3$ .

$\frac{t}{t + 3} + \frac{4 t}{t - 3} - \frac{18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{t}{t + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t - 3}{t - 3}$ .

$\frac{t}{t + 3} \cdot \frac{t - 3}{t - 3} + \frac{4 t}{t - 3} - \frac{18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{4 t}{t - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t + 3}{t + 3}$ .

$\frac{t}{t + 3} \cdot \frac{t - 3}{t - 3} + \frac{4 t}{t - 3} \cdot \frac{t + 3}{t + 3} - \frac{18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(t + 3) (t - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{t}{t + 3}$ par $\frac{t - 3}{t - 3}$ .

$\frac{t (t - 3)}{(t + 3) (t - 3)} + \frac{4 t}{t - 3} \cdot \frac{t + 3}{t + 3} - \frac{18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{4 t}{t - 3}$ par $\frac{t + 3}{t + 3}$ .

$\frac{t (t - 3)}{(t + 3) (t - 3)} + \frac{4 t (t + 3)}{(t - 3) (t + 3)} - \frac{18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(t - 3) (t + 3)$ .

$\frac{t (t - 3)}{(t + 3) (t - 3)} + \frac{4 t (t + 3)}{(t + 3) (t - 3)} - \frac{18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t (t - 3) + 4 t (t + 3)}{(t + 3) (t - 3)} - \frac{18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t (t - 3) + 4 t (t + 3) - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 3 + 4 t (t + 3) - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t^{2} + t \cdot - 3 + 4 t (t + 3) - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 6.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $t$ .

$\frac{t^{2} - 3 \cdot t + 4 t (t + 3) - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} - 3 t + 4 t \cdot t + 4 t \cdot 3 - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $t$ .

$\frac{t^{2} - 3 t + 4 (t \cdot t) + 4 t \cdot 3 - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 6.5.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t^{2} - 3 t + 4 t^{2} + 4 t \cdot 3 - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 6.6

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{t^{2} - 3 t + 4 t^{2} + 12 t - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 7

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 7.1

Additionnez $t^{2}$ et $4 t^{2}$ .

$\frac{5 t^{2} - 3 t + 12 t - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 7.2

Additionnez $- 3 t$ et $12 t$ .

$\frac{5 t^{2} + 9 t - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 8

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 18 = - 90$ et dont la somme est $b = 9$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 t$ .

$\frac{5 t^{2} + 9 (t) - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 8.1.2

Réécrivez $9$ comme $- 6$ plus $15$

$\frac{5 t^{2} + (- 6 + 15) t - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 t^{2} - 6 t + 15 t - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(5 t^{2} - 6 t) + 15 t - 18}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{t (5 t - 6) + 3 (5 t - 6)}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 t - 6$ .

$\frac{(5 t - 6) (t + 3)}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $t + 3$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(5 t - 6) (t + 3)}{(t + 3) (t - 3)}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 t - 6}{t - 3}$