Algèbre Exemples

$\frac{t - 3}{5 - t} - \frac{t + 4}{t + 5} + \frac{t - 2}{25 - t^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{t - 3}{5 - t} - \frac{t + 4}{t + 5} + \frac{t - 2}{5^{2} - t^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = t$ .

$\frac{t - 3}{5 - t} - \frac{t + 4}{t + 5} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{t - 3}{5 - t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t + 5}{t + 5}$ .

$\frac{t - 3}{5 - t} \cdot \frac{t + 5}{t + 5} - \frac{t + 4}{t + 5} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{t + 4}{t + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5 - t}{5 - t}$ .

$\frac{t - 3}{5 - t} \cdot \frac{t + 5}{t + 5} - \frac{t + 4}{t + 5} \cdot \frac{5 - t}{5 - t} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(5 - t) (t + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{t - 3}{5 - t}$ par $\frac{t + 5}{t + 5}$ .

$\frac{(t - 3) (t + 5)}{(5 - t) (t + 5)} - \frac{t + 4}{t + 5} \cdot \frac{5 - t}{5 - t} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{t + 4}{t + 5}$ par $\frac{5 - t}{5 - t}$ .

$\frac{(t - 3) (t + 5)}{(5 - t) (t + 5)} - \frac{(t + 4) (5 - t)}{(t + 5) (5 - t)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(t + 5) (5 - t)$ .

$\frac{(t - 3) (t + 5)}{(5 - t) (t + 5)} - \frac{(t + 4) (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(t - 3) (t + 5) - (t + 4) (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(t - 3) (t + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t (t + 5) - 3 (t + 5) - (t + 4) (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t \cdot t + t \cdot 5 - 3 (t + 5) - (t + 4) (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t \cdot t + t \cdot 5 - 3 t - 3 \cdot 5 - (t + 4) (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t^{2} + t \cdot 5 - 3 t - 3 \cdot 5 - (t + 4) (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $t$ .

$\frac{t^{2} + 5 \cdot t - 3 t - 3 \cdot 5 - (t + 4) (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{t^{2} + 5 t - 3 t - 15 - (t + 4) (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $3 t$ de $5 t$ .

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - (t + 4) (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 + (- t - 1 \cdot 4) (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 + (- t - 4) (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.5

Développez $(- t - 4) (5 - t)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - t (5 - t) - 4 (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - t \cdot 5 - t (- t) - 4 (5 - t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - t \cdot 5 - t (- t) - 4 \cdot 5 - 4 (- t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - 5 t - t (- t) - 4 \cdot 5 - 4 (- t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - 5 t - 1 \cdot - 1 t \cdot t - 4 \cdot 5 - 4 (- t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.6.1.3

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.3.1

Déplacez $t$ .

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - 5 t - 1 \cdot - 1 (t \cdot t) - 4 \cdot 5 - 4 (- t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.6.1.3.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - 5 t - 1 \cdot - 1 t^{2} - 4 \cdot 5 - 4 (- t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - 5 t + 1 t^{2} - 4 \cdot 5 - 4 (- t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.6.1.5

Multipliez $t^{2}$ par $1$ .

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - 5 t + t^{2} - 4 \cdot 5 - 4 (- t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.6.1.6

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - 5 t + t^{2} - 20 - 4 (- t)}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.6.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - 5 t + t^{2} - 20 + 4 t}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.6.2

Additionnez $- 5 t$ et $4 t$ .

$\frac{t^{2} + 2 t - 15 - t + t^{2} - 20}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.7

Additionnez $t^{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 t - 15 - t - 20}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.8

Soustrayez $t$ de $2 t$ .

$\frac{2 t^{2} + t - 15 - 20}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 6.9

Soustrayez $20$ de $- 15$ .

$\frac{2 t^{2} + t - 35}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 + t) (5 - t)}$

Étape 7

Associez en une fraction.

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Étape 7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 t^{2} + t - 35}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(t + 5) (5 - t)}$

Étape 7.2

Réorganisez les facteurs de $(t + 5) (5 - t)$ .

$\frac{2 t^{2} + t - 35}{(5 - t) (t + 5)} + \frac{t - 2}{(5 - t) (t + 5)}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 t^{2} + t - 35 + t - 2}{(5 - t) (t + 5)}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Additionnez $t$ et $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 t - 35 - 2}{(5 - t) (t + 5)}$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $- 35$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 t - 37}{(5 - t) (t + 5)}$