Algèbre Exemples

$\frac{x^{- 2}}{x^{- 2} - y^{- 2}}$

Étape 1

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{(x^{- 2} - y^{- 2}) x^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{- 2}$ comme ${(x^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{1}{({(x^{- 1})}^{2} - y^{- 2}) x^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez $y^{- 2}$ comme ${(y^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{1}{({(x^{- 1})}^{2} - {(y^{- 1})}^{2}) x^{2}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{- 1}$ et $b = y^{- 1}$ .

$\frac{1}{(x^{- 1} + y^{- 1}) (x^{- 1} - y^{- 1}) x^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{x} + y^{- 1}) (x^{- 1} - y^{- 1}) x^{2}}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (x^{- 1} - y^{- 1}) x^{2}}$

Étape 2.4.3

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (x^{- 1} - y^{- 1}) x^{2}}$

Étape 2.4.4

Pour écrire $\frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) (x^{- 1} - y^{- 1}) x^{2}}$

Étape 2.4.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{(\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) (x^{- 1} - y^{- 1}) x^{2}}$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}) (x^{- 1} - y^{- 1}) x^{2}}$

Étape 2.4.5.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{1}{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}) (x^{- 1} - y^{- 1}) x^{2}}$

Étape 2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{y + x}{x y} (x^{- 1} - y^{- 1}) x^{2}}$

Étape 2.4.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} - y^{- 1}) x^{2}}$

Étape 2.4.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) x^{2}}$

Étape 2.4.9

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y}) x^{2}}$

Étape 2.4.10

Pour écrire $- \frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) x^{2}}$

Étape 2.4.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.11.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) x^{2}}$

Étape 2.4.11.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{x}{y x}) x^{2}}$

Étape 2.4.11.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{1}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{x}{x y}) x^{2}}$

Étape 2.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y} x^{2}}$

Étape 2.5

Associez les exposants.

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{y + x}{x y}$ par $\frac{y - x}{x y}$ .

$\frac{1}{\frac{(y + x) (y - x)}{x y (x y)} x^{2}}$

Étape 2.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1} x y \cdot y} x^{2}}$

Étape 2.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1} x^{1} y \cdot y} x^{2}}$

Étape 2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1 + 1} y \cdot y} x^{2}}$

Étape 2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y \cdot y} x^{2}}$

Étape 2.5.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{1} y)} x^{2}}$

Étape 2.5.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{1} y^{1})} x^{2}}$

Étape 2.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{1 + 1}} x^{2}}$

Étape 2.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}} x^{2}}$

Étape 2.5.10

Associez $\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{(y + x) (y - x) x^{2}}{x^{2} y^{2}}}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{(y + x) (y - x) x^{2}}{x^{2} y^{2}}}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{y^{2}}{(y + x) (y - x)}$

Étape 4

Multipliez $\frac{y^{2}}{(y + x) (y - x)}$ par $1$ .

$\frac{y^{2}}{(y + x) (y - x)}$