Algèbre Exemples

$2 x^{\frac{3}{4}} = 16$

Étape 1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{\frac{3}{4}} - 16 = 0$

Étape 2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{3}{4}} - 16$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{3}{4}}$ .

$2 (x^{\frac{3}{4}}) - 16 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$2 x^{\frac{3}{4}} + 2 \cdot - 8 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{3}{4}} + 2 \cdot - 8$ .

$2 (x^{\frac{3}{4}} - 8) = 0$

Étape 3

Réécrivez $x^{\frac{3}{4}}$ comme ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

$2 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{3} - 8) = 0$

Étape 4

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$2 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{3} - 2^{3}) = 0$

Étape 5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x^{\frac{1}{4}}$ et $b = 2$ .

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} + 2^{2})) = 0$

Étape 6.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} + 4)) = 0$

Étape 6.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (2 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 4)) = 0$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x^{\frac{1}{4}} - 2) (2 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Étape 7

Simplifiez $2 (x^{\frac{1}{4}} - 2) (2 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 4)$ .

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Étape 7.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{\frac{1}{4}} + 2 \cdot - 2) (2 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Étape 7.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$(2 x^{\frac{1}{4}} - 4) (2 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Étape 7.2

Développez $(2 x^{\frac{1}{4}} - 4) (2 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x^{\frac{1}{4}} (2 x^{\frac{1}{4}}) + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3

Simplifiez les termes.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{4}}$ par $x^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{4}}$ .

$2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}) + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 2 x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \cdot 2 x^{\frac{2}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 7.3.1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 \cdot 2 x^{\frac{2 (1)}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \cdot 2 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.4

Multipliez $x^{\frac{1}{4}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.1.4.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}}) + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.4.3

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.4.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.1.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{4} + \frac{1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.4.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} + 8 x^{\frac{1}{4}} - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.6

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} + 8 x^{\frac{1}{4}} - 8 x^{\frac{1}{4}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Étape 7.3.1.7

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} + 8 x^{\frac{1}{4}} - 8 x^{\frac{1}{4}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 16 = 0$

Étape 7.3.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} + 8 x^{\frac{1}{4}} - 8 x^{\frac{1}{4}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 16$ .

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Étape 7.3.2.1

Soustrayez $8 x^{\frac{1}{4}}$ de $8 x^{\frac{1}{4}}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} + 0 - 4 x^{\frac{1}{2}} - 16 = 0$

Étape 7.3.2.2

Additionnez $4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}}$ et $0$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 16 = 0$

Étape 7.3.2.3

Soustrayez $4 x^{\frac{1}{2}}$ de $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{4}} + 0 - 16 = 0$

Étape 7.3.2.4

Additionnez $2 x^{\frac{3}{4}}$ et $0$ .

$2 x^{\frac{3}{4}} - 16 = 0$

Étape 8

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{\frac{3}{4}} = 16$

Étape 9

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{4}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(2 x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$

Étape 10

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{3}{4}}$ .

$2^{\frac{4}{3}} {(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 10.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{4}{3}} x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{4}{3}} x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 16^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 16^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{4}{3}} x^{1} = 16^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.3

Simplifiez

$2^{\frac{4}{3}} x = 16^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2^{\frac{4}{3}} x$ .

$x \cdot 2^{\frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$

Étape 11

Divisez chaque terme dans $x \cdot 2^{\frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$ par $2^{\frac{4}{3}}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot 2^{\frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$ par $2^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}} = \frac{16^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}} = \frac{16^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$

Étape 11.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{16^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Utilisez la règle de la puissance d’un quotient $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$x = {(\frac{16}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 11.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.3.2.1

Divisez $16$ par $2$ .

$x = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 11.3.2.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 11.3.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 11.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 11.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2^{4}$

Étape 11.3.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$x = 16$