Algèbre Exemples

$\frac{(5 + i) (6 - 5 i)}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 1

Développez $(5 + i) (6 - 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (6 - 5 i) + i (6 - 5 i)}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 6 + 5 (- 5 i) + i (6 - 5 i)}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 6 + 5 (- 5 i) + i \cdot 6 + i (- 5 i)}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $5$ par $6$ .

$\frac{30 + 5 (- 5 i) + i \cdot 6 + i (- 5 i)}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 2.1.2

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{30 - 25 i + i \cdot 6 + i (- 5 i)}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 2.1.3

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$\frac{30 - 25 i + 6 \cdot i + i (- 5 i)}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 2.1.4

Multipliez $i (- 5 i)$ .

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Étape 2.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{30 - 25 i + 6 i - 5 (i^{1} i)}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{30 - 25 i + 6 i - 5 (i^{1} i^{1})}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{30 - 25 i + 6 i - 5 i^{1 + 1}}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{30 - 25 i + 6 i - 5 i^{2}}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{30 - 25 i + 6 i - 5 \cdot - 1}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 2.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{30 - 25 i + 6 i + 5}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 2.2

Additionnez $30$ et $5$ .

$\frac{35 - 25 i + 6 i}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 2.3

Additionnez $- 25 i$ et $6 i$ .

$\frac{35 - 19 i}{2 i (- 3 + 7 i)}$

Étape 3

Regroupez $- 3 + 7 i$ et $i$ .

$\frac{35 - 19 i}{2 ((- 3 + 7 i) i)}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 - 19 i}{2 (- 3 i + 7 i i)}$

Étape 5

Multipliez $7 i i$ .

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Étape 5.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{35 - 19 i}{2 (- 3 i + 7 (i^{1} i))}$

Étape 5.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{35 - 19 i}{2 (- 3 i + 7 (i^{1} i^{1}))}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{35 - 19 i}{2 (- 3 i + 7 i^{1 + 1})}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{35 - 19 i}{2 (- 3 i + 7 i^{2})}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{35 - 19 i}{2 (- 3 i + 7 \cdot - 1)}$

Étape 6.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{35 - 19 i}{2 (- 3 i - 7)}$

Étape 7

Remettez dans l’ordre $- 3 i$ et $- 7$ .

$\frac{35 - 19 i}{2 (- 7 - 3 i)}$

Étape 8

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{35 - 19 i}{- 14 - 6 i}$ par le conjugué de $- 14 - 6 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{35 - 19 i}{- 14 - 6 i} \cdot \frac{- 14 + 6 i}{- 14 + 6 i}$

Étape 9

Multipliez.

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Étape 9.1

Associez.

$\frac{(35 - 19 i) (- 14 + 6 i)}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Développez $(35 - 19 i) (- 14 + 6 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 (- 14 + 6 i) - 19 i (- 14 + 6 i)}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 \cdot - 14 + 35 (6 i) - 19 i (- 14 + 6 i)}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 \cdot - 14 + 35 (6 i) - 19 i \cdot - 14 - 19 i (6 i)}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.2.1.1

Multipliez $35$ par $- 14$ .

$\frac{- 490 + 35 (6 i) - 19 i \cdot - 14 - 19 i (6 i)}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.2.1.2

Multipliez $6$ par $35$ .

$\frac{- 490 + 210 i - 19 i \cdot - 14 - 19 i (6 i)}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.2.1.3

Multipliez $- 14$ par $- 19$ .

$\frac{- 490 + 210 i + 266 i - 19 i (6 i)}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.2.1.4

Multipliez $- 19 i (6 i)$ .

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Étape 9.2.2.1.4.1

Multipliez $6$ par $- 19$ .

$\frac{- 490 + 210 i + 266 i - 114 i i}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 490 + 210 i + 266 i - 114 (i^{1} i)}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 490 + 210 i + 266 i - 114 (i^{1} i^{1})}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 490 + 210 i + 266 i - 114 i^{1 + 1}}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 490 + 210 i + 266 i - 114 i^{2}}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 490 + 210 i + 266 i - 114 \cdot - 1}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.2.1.6

Multipliez $- 114$ par $- 1$ .

$\frac{- 490 + 210 i + 266 i + 114}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $- 490$ et $114$ .

$\frac{- 376 + 210 i + 266 i}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.2.2.3

Additionnez $210 i$ et $266 i$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.1

Développez $(- 14 - 6 i) (- 14 + 6 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 376 + 476 i}{- 14 (- 14 + 6 i) - 6 i (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 376 + 476 i}{- 14 \cdot - 14 - 14 (6 i) - 6 i (- 14 + 6 i)}$

Étape 9.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 376 + 476 i}{- 14 \cdot - 14 - 14 (6 i) - 6 i \cdot - 14 - 6 i (6 i)}$

Étape 9.3.2

Simplifiez

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $- 14$ par $- 14$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{196 - 14 (6 i) - 6 i \cdot - 14 - 6 i (6 i)}$

Étape 9.3.2.2

Multipliez $6$ par $- 14$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{196 - 84 i - 6 i \cdot - 14 - 6 i (6 i)}$

Étape 9.3.2.3

Multipliez $- 14$ par $- 6$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{196 - 84 i + 84 i - 6 i (6 i)}$

Étape 9.3.2.4

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{196 - 84 i + 84 i - 36 i i}$

Étape 9.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{196 - 84 i + 84 i - 36 (i^{1} i)}$

Étape 9.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{196 - 84 i + 84 i - 36 (i^{1} i^{1})}$

Étape 9.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 376 + 476 i}{196 - 84 i + 84 i - 36 i^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{196 - 84 i + 84 i - 36 i^{2}}$

Étape 9.3.2.9

Additionnez $- 84 i$ et $84 i$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{196 + 0 - 36 i^{2}}$

Étape 9.3.2.10

Additionnez $196$ et $0$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{196 - 36 i^{2}}$

Étape 9.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{196 - 36 \cdot - 1}$

Étape 9.3.3.2

Multipliez $- 36$ par $- 1$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{196 + 36}$

Étape 9.3.4

Additionnez $196$ et $36$ .

$\frac{- 376 + 476 i}{232}$

Étape 10

Annulez le facteur commun à $- 376 + 476 i$ et $232$ .

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Étape 10.1

Factorisez $4$ à partir de $- 376$ .

$\frac{4 (- 94) + 476 i}{232}$

Étape 10.2

Factorisez $4$ à partir de $476 i$ .

$\frac{4 (- 94) + 4 (119 i)}{232}$

Étape 10.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 94) + 4 (119 i)$ .

$\frac{4 (- 94 + 119 i)}{232}$

Étape 10.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.1

Factorisez $4$ à partir de $232$ .

$\frac{4 (- 94 + 119 i)}{4 \cdot 58}$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 94 + 119 i)}{4 \cdot 58}$

Étape 10.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 94 + 119 i}{58}$

Étape 11

Divisez la fraction $\frac{- 94 + 119 i}{58}$ en deux fractions.

$\frac{- 94}{58} + \frac{119 i}{58}$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun à $- 94$ et $58$ .

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Étape 12.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 94$ .

$\frac{2 (- 47)}{58} + \frac{119 i}{58}$

Étape 12.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $58$ .

$\frac{2 \cdot - 47}{2 \cdot 29} + \frac{119 i}{58}$

Étape 12.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 47}{2 \cdot 29} + \frac{119 i}{58}$

Étape 12.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 47}{29} + \frac{119 i}{58}$

Étape 12.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{47}{29} + \frac{119 i}{58}$