Algèbre Exemples

${(x + 6)}^{\frac{3}{5}} = 8$

Étape 1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 6)}^{\frac{3}{5}} - 8 = 0$

Étape 2

Réécrivez ${(x + 6)}^{\frac{3}{5}}$ comme ${({(x + 6)}^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

${({(x + 6)}^{\frac{1}{5}})}^{3} - 8 = 0$

Étape 3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

${({(x + 6)}^{\frac{1}{5}})}^{3} - 2^{3} = 0$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}$ et $b = 2$ .

$({(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 2) ({({(x + 6)}^{\frac{1}{5}})}^{2} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 6)}^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$({(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 2) ({(x + 6)}^{\frac{1}{5} \cdot 2} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 5.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $2$ .

$({(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 2) ({(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 6)}^{\frac{1}{5}}$ .

$({(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 2) ({(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + 2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} + 2^{2}) = 0$

Étape 5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$({(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 2) ({(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + 2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} + 4) = 0$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$({(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 2) (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + 4) = 0$

Étape 6

Simplifiez $({(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 2) (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + 4)$ .

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Étape 6.1

Développez $({(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 2) (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

${(x + 6)}^{\frac{1}{5}} (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}) + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} \cdot 4 - 2 (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}) - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 6.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} \cdot 4 - 2 (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}) - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 6.2.1.2

Multipliez ${(x + 6)}^{\frac{1}{5}}$ par ${(x + 6)}^{\frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.2.1

Déplacez ${(x + 6)}^{\frac{1}{5}}$ .

$2 ({(x + 6)}^{\frac{1}{5}} {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}) + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} \cdot 4 - 2 (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}) - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 6.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} \cdot 4 - 2 (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}) - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 6.2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 {(x + 6)}^{\frac{1 + 1}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} \cdot 4 - 2 (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}) - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 6.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} \cdot 4 - 2 (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}) - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 6.2.1.3

Multipliez ${(x + 6)}^{\frac{1}{5}}$ par ${(x + 6)}^{\frac{2}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5} + \frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} \cdot 4 - 2 (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}) - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 6.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1 + 2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} \cdot 4 - 2 (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}) - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 6.2.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{3}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} \cdot 4 - 2 (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}) - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 6.2.1.4

Déplacez $4$ à gauche de ${(x + 6)}^{\frac{1}{5}}$ .

$2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{3}{5}} + 4 \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 2 (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}) - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{3}{5}} + 4 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 4 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{3}{5}} + 4 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 4 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 8 = 0$

Étape 6.2.2

Associez les termes opposés dans $2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{3}{5}} + 4 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 4 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}} - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 8$ .

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $4 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}$ de $4 {(x + 6)}^{\frac{1}{5}}$ .

$2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{3}{5}} + 0 - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 8 = 0$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{3}{5}}$ et $0$ .

$2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} + {(x + 6)}^{\frac{3}{5}} - 2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}} - 8 = 0$

Étape 6.2.2.3

Soustrayez $2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}}$ de $2 {(x + 6)}^{\frac{2}{5}}$ .

$0 + {(x + 6)}^{\frac{3}{5}} - 8 = 0$

Étape 6.2.2.4

Additionnez $0$ et ${(x + 6)}^{\frac{3}{5}}$ .

${(x + 6)}^{\frac{3}{5}} - 8 = 0$

Étape 7

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

${(x + 6)}^{\frac{3}{5}} = 8$

Étape 8

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x + 6)}^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 8^{\frac{5}{3}}$

Étape 9

Simplifiez l’exposant.

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Étape 9.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.1.1

Simplifiez ${({(x + 6)}^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 9.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 6)}^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 9.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 6)}^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 8^{\frac{5}{3}}$

Étape 9.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 6)}^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 8^{\frac{5}{3}}$

Étape 9.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 6)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 8^{\frac{5}{3}}$

Étape 9.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 6)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 8^{\frac{5}{3}}$

Étape 9.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 6)}^{1} = 8^{\frac{5}{3}}$

Étape 9.1.1.2

Simplifiez

$x + 6 = 8^{\frac{5}{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

Simplifiez $8^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 9.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x + 6 = {(2^{3})}^{\frac{5}{3}}$

Étape 9.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 6 = 2^{3 (\frac{5}{3})}$

Étape 9.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x + 6 = 2^{3 (\frac{5}{3})}$

Étape 9.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x + 6 = 2^{5}$

Étape 9.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$x + 6 = 32$

Étape 10

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = 32 - 6$

Étape 10.2

Soustrayez $6$ de $32$ .

$x = 26$