Algèbre Exemples

$\sqrt{9 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = \sqrt{9 - x^{2}}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Étape 1.2.2

Définissez $3 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Définissez $3 + x$ égal à $0$ .

$3 + x = 0$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.3

Définissez $3 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez $3 - x$ égal à $0$ .

$3 - x = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez $3 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 1.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 1.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 3, 3$

Étape 1.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Étape 1.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 1.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Étape 1.2.6.1.3

Le côté gauche $- 27$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Étape 1.2.6.2.3

Le côté gauche $9$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 1.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Étape 1.2.6.3.3

Le côté gauche $- 27$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 1.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 \leq x \leq 3$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 3, 3]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Notation d’intervalle :

$[- 3, 3]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Étape 2

Pour déterminer les points finaux, remplacez les bornes des valeurs $x$ du domaine par $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 3) = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$

Étape 2.2.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{0 (3 - (- 3))}$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{0 (3 + 3)}$

Étape 2.2.4

Additionnez $3$ et $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{0 \cdot 6}$

Étape 2.2.5

Multipliez $0$ par $6$ .

$f (- 3) = \sqrt{0}$

Étape 2.2.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (- 3) = \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 3) = 0$

Étape 2.2.8

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \sqrt{(3 + 3) (3 - (3))}$

Étape 2.4

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.4.1

Supprimez les parenthèses.

$f (3) = \sqrt{(3 + 3) (3 - (3))}$

Étape 2.4.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$f (3) = \sqrt{6 (3 - (3))}$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (3) = \sqrt{6 (3 - 3)}$

Étape 2.4.4

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (3) = \sqrt{6 \cdot 0}$

Étape 2.4.5

Multipliez $6$ par $0$ .

$f (3) = \sqrt{0}$

Étape 2.4.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (3) = \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (3) = 0$

Étape 2.4.8

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3

Les points finaux sont $(- 3, 0), (3, 0)$ .

$(- 3, 0), (3, 0)$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $- 2$ dans $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 2, \sqrt{5})$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \sqrt{(3 - 2) (3 - (- 2))}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 2) = \sqrt{(3 - 2) (3 - (- 2))}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f (- 2) = \sqrt{1 (3 - (- 2))}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3 - (- 2)$ par $1$ .

$f (- 2) = \sqrt{3 - (- 2)}$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{3 + 2}$

Étape 4.1.2.5

Additionnez $3$ et $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{5}$

Étape 4.1.2.6

La réponse finale est $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, 2 \sqrt{2})$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \sqrt{(3 - 1) (3 - (- 1))}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 1) = \sqrt{(3 - 1) (3 - (- 1))}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (- 1) = \sqrt{2 (3 - (- 1))}$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{2 (3 + 1)}$

Étape 4.2.2.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{2 \cdot 4}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- 1) = \sqrt{8}$

Étape 4.2.2.6

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.2.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- 1) = \sqrt{4 (2)}$

Étape 4.2.2.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 1) = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 4.2.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 1) = 2 \sqrt{2}$

Étape 4.2.2.8

La réponse finale est $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2}$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(0, 3)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$f (0) = \sqrt{3 (3 - (0))}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \sqrt{3 (3 + 0)}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $3$ et $0$ .

$f (0) = \sqrt{3 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (0) = \sqrt{9}$

Étape 4.3.2.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{3^{2}}$

Étape 4.3.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = 3$

Étape 4.3.2.8

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 4.4

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(1, 2 \sqrt{2})$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \sqrt{(3 + 1) (3 - (1))}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = \sqrt{(3 + 1) (3 - (1))}$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (1) = \sqrt{4 (3 - (1))}$

Étape 4.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = \sqrt{4 (3 - 1)}$

Étape 4.4.2.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (1) = \sqrt{4 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (1) = \sqrt{8}$

Étape 4.4.2.6

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.4.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (1) = \sqrt{4 (2)}$

Étape 4.4.2.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 4.4.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (1) = 2 \sqrt{2}$

Étape 4.4.2.8

La réponse finale est $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2}$

Étape 4.5

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(2, \sqrt{5})$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \sqrt{(3 + 2) (3 - (2))}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2) = \sqrt{(3 + 2) (3 - (2))}$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$f (2) = \sqrt{5 (3 - (2))}$

Étape 4.5.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (2) = \sqrt{5 (3 - 2)}$

Étape 4.5.2.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f (2) = \sqrt{5 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (2) = \sqrt{5}$

Étape 4.5.2.6

La réponse finale est $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

Étape 4.6

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(- 3, 0), (3, 0), (- 2, 2.24), (- 1, 2.83), (0, 3), (1, 2.83), (2, 2.24)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 2.24 \\ - 1 & 2.83 \\ 0 & 3 \\ 1 & 2.83 \\ 2 & 2.24 \\ 3 & 0 \end{array}$

Étape 5