Algèbre Exemples

$\log (x) + \log (x + 15) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x + 15)) = 2$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot 15) = 2$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 15) = 2$

Étape 1.3.2

Déplacez $15$ à gauche de $x$ .

$\log (x^{2} + 15 x) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log (x^{2} + 15 x) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{2} = x^{2} + 15 x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 15 x = 10^{2}$ .

$x^{2} + 15 x = 10^{2}$

Étape 3.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + 15 x = 100$

Étape 3.3

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 15 x - 100 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $x^{2} + 15 x - 100$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 100$ et dont la somme est $15$ .

$- 5, 20$

Étape 3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 20) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 20 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 3.7

Définissez $x + 20$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x + 20$ égal à $0$ .

$x + 20 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 20$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 20) = 0$ vraie.

$x = 5, - 20$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (x) + \log (x + 15) = 2$ vrai.

$x = 5$