Algèbre Exemples

$f (x) = 2 x + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 x + 1$ comme une équation.

$y = 2 x + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 y + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y + 1 = x$ .

$2 y + 1 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = x - 1$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $2 y = x - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y = x - 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x + 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 x + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x + 1) = \frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (2 x + 1) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $2 x + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2 x + 1) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 x + 1) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 x + 1) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 x + 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}) = 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}) = x + 2 (- \frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}) = x + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}) = x + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}) = x - 1 + 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$