Algèbre Exemples

$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Étape 3

Factorisez $u^{2} - 5 u + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 4, - 1$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u - 1) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 8

Factorisez.

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Étape 8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 10

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 11

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 12

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 13

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 13.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2, - 1, 1$