Algèbre Exemples

A line is perpendicular to $y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ and intersects the point $(- 2, 4)$ What is the equation of this perpendicular line?

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ , $(- 2, 4)$

Étape 2

Déterminez la pente quand $y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 2.1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 2.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$

Étape 2.2

En utilisant la forme affine, la pente est $\frac{2}{3}$ .

$m = \frac{2}{3}$

Étape 3

L’équation d’une droite perpendiculaire doit avoir une pente qui est la réciproque négative de la pente d’origine.

$m_{perpendiculaire} = - \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Étape 4

Simplifiez $- \frac{1}{\frac{2}{3}}$ pour déterminer la pente de la droite perpendiculaire.

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$m_{perpendiculaire} = - (1 (\frac{3}{2}))$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$m_{perpendiculaire} = - \frac{3}{2}$

Étape 5

Déterminez l’équation de la droite perpendiculaire à l’aide de la formule point-pente.

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Étape 5.1

Utilisez la pente $- \frac{3}{2}$ et un point donné, tel que $(- 2, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (- 2))$

Étape 5.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = - \frac{3}{2} \cdot (x + 2)$

Étape 6

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 6.1

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1.1

Simplifiez $- \frac{3}{2} \cdot (x + 2)$ .

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x + 2)$

Étape 6.1.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot 2$

Étape 6.1.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 2$

Étape 6.1.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot 2$

Étape 6.1.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot 2$

Étape 6.1.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3$

Étape 6.1.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y - 4 = - \frac{3 x}{2} - 3$

Étape 6.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{3 x}{2} - 3 + 4$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 1$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 1$

Étape 6.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{2} x + 1$

Étape 7