Algèbre Exemples

$f (x) = - \frac{1}{10} (x + 3) (x - 3) {(x + 1)}^{3}$

Étape 1

Définissez $- \frac{1}{10} \cdot ((x + 3) (x - 3) {(x + 1)}^{3})$ égal à $0$ .

$- \frac{1}{10} \cdot ((x + 3) (x - 3) {(x + 1)}^{3}) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 10$ .

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x + 3) (x - 3) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez $- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x + 3) (x - 3) {(x + 1)}^{3}))$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Développez $(x + 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x (x - 3) + 3 (x - 3)) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 3$ et $3 x$ .

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.2.1.2

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.2.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x \cdot x + 3 \cdot - 3) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x^{2} + 3 \cdot - 3) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x^{2} - 9) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.2.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.2.1.1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot (x^{2} {(x + 1)}^{3} - 9 {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 10 (- \frac{1}{10} (x^{2} {(x + 1)}^{3}) - \frac{1}{10} (- 9 {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.3

Multipliez $- \frac{1}{10} (x^{2} {(x + 1)}^{3})$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{10}$ .

$- 10 (- \frac{x^{2}}{10} {(x + 1)}^{3} - \frac{1}{10} (- 9 {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.3.2

Associez ${(x + 1)}^{3}$ et $\frac{x^{2}}{10}$ .

$- 10 (- \frac{{(x + 1)}^{3} x^{2}}{10} - \frac{1}{10} (- 9 {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.4

Multipliez $- \frac{1}{10} (- 9 {(x + 1)}^{3})$ .

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Étape 2.2.1.1.4.1

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$- 10 (- \frac{{(x + 1)}^{3} x^{2}}{10} + 9 (\frac{1}{10}) {(x + 1)}^{3}) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Associez $9$ et $\frac{1}{10}$ .

$- 10 (- \frac{{(x + 1)}^{3} x^{2}}{10} + \frac{9}{10} {(x + 1)}^{3}) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.4.3

Associez $\frac{9}{10}$ et ${(x + 1)}^{3}$ .

$- 10 (- \frac{{(x + 1)}^{3} x^{2}}{10} + \frac{9 {(x + 1)}^{3}}{10}) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 10 \frac{- {(x + 1)}^{3} x^{2} + 9 {(x + 1)}^{3}}{10} = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- {(x + 1)}^{3} x^{2} + 9 {(x + 1)}^{3}$ .

$- 10 \frac{- x^{2} {(x + 1)}^{3} + 9 {(x + 1)}^{3}}{10} = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.7

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.2.1.1.7.1

Factorisez $10$ à partir de $- 10$ .

$10 (- 1) \frac{- x^{2} {(x + 1)}^{3} + 9 {(x + 1)}^{3}}{10} = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$10 \cdot - 1 \frac{- x^{2} {(x + 1)}^{3} + 9 {(x + 1)}^{3}}{10} = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$- (- x^{2} {(x + 1)}^{3} + 9 {(x + 1)}^{3}) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$- (- x^{2} {(x + 1)}^{3}) - (9 {(x + 1)}^{3}) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.9

Multipliez $- (- x^{2} {(x + 1)}^{3})$ .

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Étape 2.2.1.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (x^{2} {(x + 1)}^{3}) - (9 {(x + 1)}^{3}) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} {(x + 1)}^{3} - (9 {(x + 1)}^{3}) = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.10

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$x^{2} {(x + 1)}^{3} - 9 {(x + 1)}^{3} = - 10 \cdot 0$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$x^{2} {(x + 1)}^{3} - 9 {(x + 1)}^{3} = 0$

Étape 2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.1

Factorisez ${(x + 1)}^{3}$ à partir de $x^{2} {(x + 1)}^{3} - 9 {(x + 1)}^{3}$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez ${(x + 1)}^{3}$ à partir de $x^{2} {(x + 1)}^{3}$ .

${(x + 1)}^{3} x^{2} - 9 {(x + 1)}^{3} = 0$

Étape 2.3.1.2

Factorisez ${(x + 1)}^{3}$ à partir de $- 9 {(x + 1)}^{3}$ .

${(x + 1)}^{3} x^{2} + {(x + 1)}^{3} \cdot - 9 = 0$

Étape 2.3.1.3

Factorisez ${(x + 1)}^{3}$ à partir de ${(x + 1)}^{3} x^{2} + {(x + 1)}^{3} \cdot - 9$ .

${(x + 1)}^{3} (x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

${(x + 1)}^{3} (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 2.3.3

Factorisez.

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Étape 2.3.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

${(x + 1)}^{3} ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${(x + 1)}^{3} (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.5

Définissez ${(x + 1)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez ${(x + 1)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(x + 1)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.7

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.7.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 1)}^{3} (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 3, 3$

Étape 3