Algèbre Exemples

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Étape 1

Définissez $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ égal à $0$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2 e^{- x^{2}}$ à partir de $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2 e^{- x^{2}}$ à partir de $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2 e^{- x^{2}}$ à partir de $- 2 e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $2 e^{- x^{2}}$ à partir de $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1)$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $e^{- x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $e^{- x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $e^{- x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.4

Définissez $2 x^{2} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x^{2} - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x^{2} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 2.4.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.4.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.4.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.4.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.4.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.4.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.4.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.4.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$x = 0.70710678 \dots, - 0.70710678 \dots$

Étape 4