Algèbre Exemples

$3 x^{4} - 9 x^{3} + x^{2} - 3 x$

Étape 1

Définissez $3 x^{4} - 9 x^{3} + x^{2} - 3 x$ égal à $0$ .

$3 x^{4} - 9 x^{3} + x^{2} - 3 x = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{4} - 9 x^{3} + x^{2} - 3 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{4}$ .

$x (3 x^{3}) - 9 x^{3} + x^{2} - 3 x = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x^{3}$ .

$x (3 x^{3}) + x (- 9 x^{2}) + x^{2} - 3 x = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x (3 x^{3}) + x (- 9 x^{2}) + x \cdot x - 3 x = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$x (3 x^{3}) + x (- 9 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{3}) + x (- 9 x^{2})$ .

$x (3 x^{3} - 9 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Étape 2.1.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{3} - 9 x^{2}) + x \cdot x$ .

$x (3 x^{3} - 9 x^{2} + x) + x \cdot - 3 = 0$

Étape 2.1.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{3} - 9 x^{2} + x) + x \cdot - 3$ .

$x (3 x^{3} - 9 x^{2} + x - 3) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x ((3 x^{3} - 9 x^{2}) + x - 3) = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez.

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Étape 2.1.3.1

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 3$ .

$x ((x - 3) (3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 3) (3 x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$3 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.5

Définissez $3 x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $3 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $3 x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = - 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Étape 2.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{3}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Étape 2.5.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Étape 2.5.2.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Étape 2.5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Étape 2.5.2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 2.5.2.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 2.5.2.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.5.2.4.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.5.2.4.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.5.2.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.2.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.5.2.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.2.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.2.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.2.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.2.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.2.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.5.2.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.5.2.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 3) (3 x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 3, \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 3