Algèbre Exemples

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Multipliez chaque terme par un facteur de $1$ qui rendra tous les dénominateurs égaux. Dans ce cas, tous les termes ont besoin d’un dénominateur de $2$ .

$\cos^{2} (θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2

Multipliez l’expression par un facteur de $1$ pour créer le plus petit dénominateur commun de $2$ .

$\cos^{2} (θ) \cdot 2$

Étape 3

Déplacez $2$ à gauche de $\cos^{2} (θ)$ .

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4

Simplifiez $\cos^{2} (θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Étape 4.1

Divisez $2$ par $2$ .

$\cos^{2} (θ) \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Multipliez $\cos^{2} (θ)$ par $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 6.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 6.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Résolvez $θ$ dans $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 9.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 9.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 9.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 9.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 9.4.2

Associez les fractions.

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Étape 9.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 9.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 9.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 9.4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$θ = \frac{7 π}{4}$

Étape 9.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Résolvez $θ$ dans $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 10.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 10.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 10.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 10.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 10.4.2

Associez les fractions.

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Étape 10.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 10.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 10.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 10.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Indiquez toutes les solutions.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$