Algèbre Exemples

$y = \cos (\frac{θ}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 1$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $1$

Étape 3

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 3.1

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

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Étape 3.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.1.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Étape 3.1.3

$\frac{1}{4}$ est d’environ $0.25$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Étape 3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 4$

Étape 3.1.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 π$

Étape 3.2

Déterminez la période de $- 2$ .

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Étape 3.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Étape 3.2.3

$\frac{1}{4}$ est d’environ $0.25$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Étape 3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 4$

Étape 3.2.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 π$

Étape 3.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$8 π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $- \frac{π}{4} \cdot 4$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

Déphasage : $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

Déphasage : $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

Déphasage : $- π$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $1$

Période : $8 π$

Déphasage : $- π$ ( $π$ à gauche)

Décalage vertical : $- 2$

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = - π$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- π$ dans l’expression.

$f (- π) = \cos (\frac{- π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- π) = \cos (\frac{- π + π}{4}) - 2$

Étape 6.1.2.1.2

Additionnez $- π$ et $π$ .

$f (- π) = \cos (\frac{0}{4}) - 2$

Étape 6.1.2.1.3

Divisez $0$ par $4$ .

$f (- π) = \cos (0) - 2$

Étape 6.1.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (- π) = 1 - 2$

Étape 6.1.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- π) = - 1$

Étape 6.1.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = π$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = \cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (π) = \cos (\frac{π + π}{4}) - 2$

Étape 6.2.2.1.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{4}) - 2$

Étape 6.2.2.1.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 (π)}{4}) - 2$

Étape 6.2.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 2$

Étape 6.2.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 2$

Étape 6.2.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (π) = \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Étape 6.2.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (π) = 0 - 2$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f (π) = - 2$

Étape 6.2.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = 3 π$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $3 π$ dans l’expression.

$f (3 π) = \cos (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3 π) = \cos (\frac{3 π + π}{4}) - 2$

Étape 6.3.2.1.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$f (3 π) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 2$

Étape 6.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (3 π) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 2$

Étape 6.3.2.1.3.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (3 π) = \cos (π) - 2$

Étape 6.3.2.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (3 π) = - \cos (0) - 2$

Étape 6.3.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (3 π) = - 1 \cdot 1 - 2$

Étape 6.3.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (3 π) = - 1 - 2$

Étape 6.3.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f (3 π) = - 3$

Étape 6.3.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = 5 π$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $5 π$ dans l’expression.

$f (5 π) = \cos (\frac{5 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (5 π) = \cos (\frac{5 π + π}{4}) - 2$

Étape 6.4.2.1.2

Additionnez $5 π$ et $π$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{6 π}{4}) - 2$

Étape 6.4.2.1.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 6.4.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{4}) - 2$

Étape 6.4.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) - 2$

Étape 6.4.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) - 2$

Étape 6.4.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (5 π) = \cos (\frac{3 π}{2}) - 2$

Étape 6.4.2.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (5 π) = \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Étape 6.4.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (5 π) = 0 - 2$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f (5 π) = - 2$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = 7 π$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $7 π$ dans l’expression.

$f (7 π) = \cos (\frac{7 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (7 π) = \cos (\frac{7 π + π}{4}) - 2$

Étape 6.5.2.1.2

Additionnez $7 π$ et $π$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{8 π}{4}) - 2$

Étape 6.5.2.1.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 6.5.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8 π$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4}) - 2$

Étape 6.5.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)}) - 2$

Étape 6.5.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1}) - 2$

Étape 6.5.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (7 π) = \cos (\frac{2 π}{1}) - 2$

Étape 6.5.2.1.3.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (7 π) = \cos (2 π) - 2$

Étape 6.5.2.1.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (7 π) = \cos (0) - 2$

Étape 6.5.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (7 π) = 1 - 2$

Étape 6.5.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (7 π) = - 1$

Étape 6.5.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - 1 \\ π & - 2 \\ 3 π & - 3 \\ 5 π & - 2 \\ 7 π & - 1 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $1$

Période : $8 π$

Déphasage : $- π$ ( $π$ à gauche)

Décalage vertical : $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - 1 \\ π & - 2 \\ 3 π & - 3 \\ 5 π & - 2 \\ 7 π & - 1 \end{array}$

Étape 8