Algèbre Exemples

$x^{3} - 2 x^{2} > 15 x$

Étape 1

Soustrayez $15 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{3} - 2 x^{2} - 15 x > 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 2 x^{2} - 15 x = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 15 x = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 15 x = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 15 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 15 = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 15 = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 15$ .

$x (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Étape 3.2

Factorisez.

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 5) (x + 3) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 7

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 5) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 5, - 3$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{3} - 2 {(- 6)}^{2} > 15 (- 6)$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 288$ n’est pas supérieur au côté droit $- 90$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} > 15 (- 2)$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 16$ est supérieur au côté droit $- 30$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} > 15 (2)$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $0$ n’est pas supérieur au côté droit $30$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${(8)}^{3} - 2 {(8)}^{2} > 15 (8)$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $384$ est supérieur au côté droit $120$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 5$ Faux

$x > 5$ Vrai

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 5$ Faux

$x > 5$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 < x < 0$ ou $x > 5$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 3 < x < 0 or x > 5$

Notation d’intervalle :

$(- 3, 0) \cup (5, \infty)$

Étape 13