Algèbre Exemples

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - x^{2} + 4 x + 12$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - x^{2} + 4 x + 12$

Étape 2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - x^{2} + 4 x + 12$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) - 12 x^{2} - x^{2} + 4 x + 12$

Étape 2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot - 12 - x^{2} + 4 x + 12$

Étape 2.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot - 12 - x^{2} + 4 x + 12$

Étape 2.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot - 12$ .

$x^{2} (x^{2} - 4 x - 12) - x^{2} + 4 x + 12$

Étape 3

Factorisez.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2} - 4 x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x^{2} ((x - 6) (x + 2)) - x^{2} + 4 x + 12$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x - 6) (x + 2) - x^{2} + 4 x + 12$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$x^{2} (x - 6) (x + 2) - x^{2} + 4 (x) + 12$

Étape 4.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 2$ plus $6$

$x^{2} (x - 6) (x + 2) - x^{2} + (- 2 + 6) x + 12$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x - 6) (x + 2) - x^{2} - 2 x + 6 x + 12$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{2} (x - 6) (x + 2) + (- x^{2} - 2 x) + 6 x + 12$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x - 6) (x + 2) + x (- x - 2) - 6 (- x - 2)$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 2$ .

$x^{2} (x - 6) (x + 2) + (- x - 2) (x - 6)$

Étape 5

Factorisez $x - 6$ à partir de $x^{2} (x - 6) (x + 2) + (- x - 2) (x - 6)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x - 6$ à partir de $x^{2} (x - 6) (x + 2)$ .

$(x - 6) (x^{2} (x + 2)) + (- x - 2) (x - 6)$

Étape 5.2

Factorisez $x - 6$ à partir de $(- x - 2) (x - 6)$ .

$(x - 6) (x^{2} (x + 2)) + (x - 6) (- x - 2)$

Étape 5.3

Factorisez $x - 6$ à partir de $(x - 6) (x^{2} (x + 2)) + (x - 6) (- x - 2)$ .

$(x - 6) (x^{2} (x + 2) - x - 2)$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 6) (x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - x - 2)$

Étape 7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x - 6) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 2 - x - 2)$

Étape 7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 6) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 - x - 2)$

Étape 7.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x - 6) (x^{3} + x^{2} \cdot 2 - x - 2)$

Étape 8

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x - 6) (x^{3} + 2 x^{2} - x - 2)$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Réécrivez $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ en forme factorisée.

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Étape 9.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 6) ((x^{3} + 2 x^{2}) - x - 2)$

Étape 9.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 6) (x^{2} (x + 2) - (x + 2))$

Étape 9.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$(x - 6) ((x + 2) (x^{2} - 1))$

Étape 9.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x - 6) ((x + 2) (x^{2} - 1^{2}))$

Étape 9.1.4

Factorisez.

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Étape 9.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x - 6) ((x + 2) ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 9.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 6) ((x + 2) (x + 1) (x - 1))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 6) (x + 2) (x + 1) (x - 1)$