Algèbre Exemples

${(\frac{1}{3})}^{2 x - 5} = 120$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{1}{3})}^{2 x - 5}) = \ln (120)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{1}{3})}^{2 x - 5})$ en déplaçant $2 x - 5$ hors du logarithme.

$(2 x - 5) \ln (\frac{1}{3}) = \ln (120)$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (\frac{1}{3})$ comme $\ln (1) - \ln (3)$ .

$(2 x - 5) (\ln (1) - \ln (3)) = \ln (120)$

Étape 2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$(2 x - 5) (0 - \ln (3)) = \ln (120)$

Étape 2.4

Soustrayez $\ln (3)$ de $0$ .

$(2 x - 5) (- \ln (3)) = \ln (120)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(2 x - 5) (- \ln (3))$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (- \ln (3)) - 5 (- \ln (3)) = \ln (120)$

Étape 3.1.2

Multipliez.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x \ln (3) - 5 (- \ln (3)) = \ln (120)$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$- 2 x \ln (3) + 5 \ln (3) = \ln (120)$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- 2 x \ln (3) + 5 \ln (3) - \ln (120) = 0$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $5 \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x \ln (3) - \ln (120) = - 5 \ln (3)$

Étape 5.2

Ajoutez $\ln (120)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x \ln (3) = - 5 \ln (3) + \ln (120)$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- 2 x \ln (3) = - 5 \ln (3) + \ln (120)$ par $- 2 \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x \ln (3) = - 5 \ln (3) + \ln (120)$ par $- 2 \ln (3)$ .

$\frac{- 2 x \ln (3)}{- 2 \ln (3)} = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x \ln (3)}{- 2 \ln (3)} = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 5}{- 2} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Étape 6.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{5}{2} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Étape 6.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{5}{2} - \frac{\ln (120)}{2 \ln (3)}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{5}{2} - \frac{\ln (120)}{2 \ln (3)}$

Forme décimale :

$x = 0.32111860 \dots$