Algèbre Exemples

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 2 x - 48)}{(36 - x^{2}) (x^{2} + 4 x - 32)}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 48$ et dont la somme est $2$ .

$- 6, 8$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 4) ((x - 6) (x + 8))}{(36 - x^{2}) (x^{2} + 4 x - 32)}$

$\frac{(x - 4) (x - 6) (x + 8)}{(36 - x^{2}) (x^{2} + 4 x - 32)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 6) (x + 8)}{(6^{2} - x^{2}) (x^{2} + 4 x - 32)}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 6$ et $b = x$ .

$\frac{(x - 4) (x - 6) (x + 8)}{(6 + x) (6 - x) (x^{2} + 4 x - 32)}$

Étape 2.3

Factorisez $x^{2} + 4 x - 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 32$ et dont la somme est $4$ .

$- 4, 8$

Étape 2.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 4) (x - 6) (x + 8)}{(6 + x) (6 - x) ((x - 4) (x + 8))}$

$\frac{(x - 4) (x - 6) (x + 8)}{(6 + x) (6 - x) (x - 4) (x + 8)}$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) (x - 6) (x + 8)}{(6 + x) (6 - x) (x - 4) (x + 8)}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 6) (x + 8)}{(6 + x) (6 - x) (x + 8)}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x + 8$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 6) (x + 8)}{(6 + x) (6 - x) (x + 8)}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 6}{(6 + x) (6 - x)}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun à $x - 6$ et $6 - x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- 1 (- x) - 6}{(6 + x) (6 - x)}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$\frac{- 1 (- x) - 1 (6)}{(6 + x) (6 - x)}$

Étape 3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (6)$ .

$\frac{- 1 (- x + 6)}{(6 + x) (6 - x)}$

Étape 3.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- x + 6)}{(6 + x) (- x + 6)}$

Étape 3.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- x + 6)}{(6 + x) (- x + 6)}$

Étape 3.3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{6 + x}$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6 + x}$