Algèbre Exemples

$y = - 2$ ${(x - 1)}^{2} - 5$

Étape 1

Tracer $y = - 2$ .

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Étape 1.1

Utilisez la forme affine pour déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine.

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Étape 1.1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 1.1.2

Déterminez les valeurs de $m$ et $b$ en utilisant la formule $y = m x + b$ .

$m = 0$

$b = - 2$

Étape 1.1.3

La pente de la droite est la valeur de $m$ et l’ordonnée à l’origine est la valeur de $b$ .

Pente : $0$

ordonnée à l’origine : $(0, - 2)$

Pente : $0$

ordonnée à l’origine : $(0, - 2)$

Étape 1.2

Déterminez deux points sur la droite.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array}$

Étape 1.3

Représentez la droite en utilisant la pente, l’ordonnée à l’origine et deux points.

Pente : $0$

ordonnée à l’origine : $(0, - 2)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array}$

Pente : $0$

ordonnée à l’origine : $(0, - 2)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array}$

Étape 2

Tracer ${(x - 1)}^{2} - 5$ .

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Étape 2.1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1.1

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = 1$

$k = - 5$

Étape 2.1.2

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 2.1.3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(1, - 5)$

Étape 2.1.4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.1.4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.1.4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 2.1.5

Déterminez le foyer.

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Étape 2.1.5.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.1.5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1, - \frac{19}{4})$

Étape 2.1.6

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 1$

Étape 2.1.7

Déterminez la directrice.

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Étape 2.1.7.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.1.7.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{21}{4}$

Étape 2.1.8

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(1, - 5)$

Foyer : $(1, - \frac{19}{4})$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = - \frac{21}{4}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(1, - 5)$

Foyer : $(1, - \frac{19}{4})$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = - \frac{21}{4}$

Étape 2.2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 4$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f (0) = - 4$

Étape 2.2.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 2.2.3

La valeur $y$ sur $x = 0$ est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 2.2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 4$

Étape 2.2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot - 1 - 4$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 - 4$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.5.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 1) = 3 - 4$

Étape 2.2.5.2.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$f (- 1) = - 1$

Étape 2.2.5.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 2.2.6

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 2.2.7

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 4$

Étape 2.2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.8.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 4 - 2 \cdot 2 - 4$

Étape 2.2.8.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (2) = 4 - 4 - 4$

Étape 2.2.8.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.8.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (2) = 0 - 4$

Étape 2.2.8.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f (2) = - 4$

Étape 2.2.8.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 2.2.9

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 2.2.10

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Étape 2.2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.11.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 9 - 2 \cdot 3 - 4$

Étape 2.2.11.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (3) = 9 - 6 - 4$

Étape 2.2.11.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.11.2.1

Soustrayez $6$ de $9$ .

$f (3) = 3 - 4$

Étape 2.2.11.2.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$f (3) = - 1$

Étape 2.2.11.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 2.2.12

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 2.2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \end{array}$

Étape 2.3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(1, - 5)$

Foyer : $(1, - \frac{19}{4})$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = - \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \end{array}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(1, - 5)$

Foyer : $(1, - \frac{19}{4})$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = - \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \end{array}$

Étape 3

Représentez chaque graphe sur le même système de coordonnées.

$y = - 2$

${(x - 1)}^{2} - 5$

Étape 4